Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 54

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 54

lim⁡n→∞(12n3+32n3+⋯+(2n−1)2n3).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(2n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на

Решение

Запишем нечётные числа в виде 2k−12k-1 и применим формулы №1 и №2:
Sn:=\displaystyle S_n:\mathrel{=}∑k=1n(2k−1)2=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2\mathrel{=}4∑k=1nk2−4∑k=1nk+n=\displaystyle 4\sum_{k=1}^{n}k^2-4\sum_{k=1}^{n}k+n\mathrel{=}2n(n+1)(2n+1)3−2n(n+1)+n=\displaystyle \frac{2n(n+1)(2n+1)}3-2n(n+1)+n\mathrel{=}n(4n2−1)3.\displaystyle \frac{n(4n^2-1)}3.Следовательно,Snn3=43−13n2⟶43.\frac{S_n}{n^3}=\frac43-\frac1{3n^2}\longrightarrow\frac43.