Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 54

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 54

lim⁡n→∞(12n3+32n3+⋯+(2n−1)2n3).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{(2n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на задачу 1

Решение

Идея

Нечётные числа в сумме последовательно имеют вид 2k−12k-1, где
k=1,…,nk=1,\ldots,n. После раскрытия квадрата сумма распадается на три знакомые
части: суммы k2k^2, kk и единиц. Вычислим их по формулам из задач 1 и 2.
43.\frac43.

Проверка

ПоложимSn=12+32+⋯+(2n−1)2=∑k=1n(2k−1)2.S_n=1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2.Так как(2k−1)2=4k2−4k+1,(2k-1)^2=4k^2-4k+1,тоSn=4∑k=1nk2−4∑k=1nk+n.S_n=4\sum_{k=1}^{n}k^2-4\sum_{k=1}^{n}k+n.По задачам 1 и 2∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6.\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,
\qquad
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.Следовательно,Sn=S_n\mathrel{=}2n(n+1)(2n+1)3−2n(n+1)+n=\frac{2n(n+1)(2n+1)}3-2n(n+1)+n\mathrel{=}n(4n2−1)3.\frac{n(4n^2-1)}3.ПоэтомуSnn3=4n2−13n2=43−13n2⟶43.\frac{S_n}{n^3}
=\frac{4n^2-1}{3n^2}
=\frac43-\frac1{3n^2}
\longrightarrow\frac43.
Демидович № 54 — решение