Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 56

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 56

lim⁡n→∞(11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right).

Решение

Идея

Каждую дробь можно представить как разность двух соседних обратных
величин:1k(k+1)=1k−1k+1.\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.При сложении таких разностей внутренние члены попарно уничтожаются. Это и
есть телескопический приём; применим его к конечной сумме, а затем перейдём к
пределу в оставшемся выражении.
Поэтому11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1).\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}
=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).Все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся1−1n+1.1-\frac1{n+1}.Следовательно,lim⁡n→∞(1−1n+1)=1.\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)=1.Сумма вычислена точно: после разложения каждого слагаемого все промежуточные дроби сокращаются. Предельный переход выполняется уже в явной формуле 1−1n+11-\frac1{n+1}; дополнительная теорема о зажатой последовательности здесь не требуется.

Проверка

1.1.
Демидович № 56 — решение | Высшая математика — Профиматика