Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 56

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 56

lim⁡n→∞(11⋅2+12⋅3+⋯+1n(n+1)).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right).

Решение

Разложим слагаемое на разность соседних обратных чисел:
1k(k+1)=1k−1k+1.\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.В конечной сумме промежуточные дроби сокращаются:∑k=1n1k(k+1)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}\mathrel{=}(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=\displaystyle \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)
+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\mathrel{=}1−1n+1.\displaystyle 1-\frac1{n+1}.Последняя дробь стремится к нулю, поэтому искомый предел равен 11.