Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 41

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 41

Пустьxn=nn+1(n=1,2,…).x_n=\frac{n}{n+1}\qquad(n=1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xn=1\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1, определив для каждого ε>0\varepsilon>0 число N=N(ε)N=N(\varepsilon) такое, что ∣xn−1∣<ε|x_n-1|<\varepsilon, если n>Nn>N. Заполнить следующую таблицу:ε0,10,010,0010,0001…N\begin{array}{c|ccccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001&\ldots\\ \hline
N&&&&&
\end{array}

Доказательство

Для любого n≥1n\ge1∣xn−1∣=∣nn+1−1∣=1n+1<1n.|x_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<\frac1n.Поэтому при заданном ε>0\varepsilon>0 достаточно потребовать n>1εn>\frac1\varepsilon. Можно выбратьN(ε)=max⁡{1,⌊1ε⌋}.N(\varepsilon)=\max\left\{1,\left\lfloor\frac1\varepsilon\right\rfloor\right\}.Если n>N(ε)n>N(\varepsilon), то ∣xn−1∣<ε|x_n-1|<\varepsilon. Это доказывает xn→1x_n\to1. Значения NN в таблице являются подходящими, хотя их не требуется делать наименьшими:ε0,10,010,0010,0001N10100100010000\begin{array}{c|cccc}
\varepsilon&0{,}1&0{,}01&0{,}001&0{,}0001\\ \hline
N&10&100&1000&10000
\end{array}

Что и требовалось доказать