Демидович — задача 41

1. 1
   По определению, число $1$ является пределом последовательности $x_n = \frac{n}{n+1}$, если:$$\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n > N \implies |x_n - 1| < \varepsilon.$$Иначе говоря, для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ можно подобрать такой номер $N$ (каждый номер будет зависеть от "своего" $\varepsilon$), начиная с которого разность между элементами последовательности и единицей станет меньше $\varepsilon$.
   
   Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и оценим модуль разности:$$|x_n - 1| = \left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}.$$Мы хотим, чтобы начиная с некоторого номера выполнялось неравенство $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$.
   Заметим, что $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Поэтому, если мы потребуем выполнения более сильного условия $\frac{1}{n} < \varepsilon$, исходное неравенство выполнится автоматически.
   
   Условие $\frac{1}{n} < \varepsilon$ равносильно $n > \frac{1}{\varepsilon}$.
   Следовательно, в качестве искомого номера можно взять целую часть от $\frac{1}{\varepsilon}$. Чтобы номер гарантированно был натуральным числом, положим:$$N(\varepsilon) = \max\left\{1, \left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor\right\}.$$
2. 2
   Теперь заполним таблицу. Для упрощения выкладок воспользуемся тем, что нам не обязательно искать минимально возможный номер - достаточно оценить разность сверху более простым выражением.
3. 3
   Из рассуждений выше при $\varepsilon = 0.1$ достаточно взять $n > \frac{1}{0.1} = 10$, то есть подойдет $N = 10$.
   Аналогичным образом получаем и остальные значения: при $\varepsilon = 0.01$ подойдёт $N = 100$, при $\varepsilon = 0.001$ - $N = 1000$, а при $\varepsilon = 0.0001$ - $N = 10000$.
   
   Использование оценки $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ избавляет от лишних алгебраических преобразований. В анализе это стандартный приём: мы загрубляем оценку в нужную сторону, чтобы получить более простой и красивый ответ.

Что и требовалось доказать