Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 63

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 63

lim⁡n→∞an=1(a>0).\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\qquad(a>0).

Опирается на

Доказательство

При a=1a=1 все члены последовательности равны 11. Пусть a>1a>1 и un=an−1>0u_n=\sqrt[n]{a}-1>0. По неравенству Бернулли из №7a=(1+un)n≥1+nun.a=(1+u_n)^n\ge1+nu_n.Следовательно,0<un≤a−1n⟶0,0<u_n\le\frac{a-1}{n}\longrightarrow0,то есть an=1+un→1\sqrt[n]{a}=1+u_n\to1.
Если 0<a<10<a<1, положим b=1a>1b=\frac1a>1. По уже доказанному bn→1\sqrt[n]{b}\to1, а потомуan=1bn⟶1.\sqrt[n]{a}=\frac1{\sqrt[n]{b}}\longrightarrow1.Таким образом, предел равен 11 при любом a>0a>0.

Что и требовалось доказать