Две стороны неравенства требуют разных сравнений. Левую оценку удобно переписать как n!nn<en: выражение слева возникает как предел одного слагаемого подходящего биномиального разложения, а число e — как предел всей суммы. Для правой оценки задача 8 уже сравнивает n! со степенью (2n+1)n; оставшийся множитель оценивается через задачу 69. Случай n=1, не охваченный формулировкой задачи 8, проверим отдельно.
Левая оценка. Зафиксируем натуральное n. Для достаточно большого натурального m в разложении(1+m1)mnрассмотрим слагаемое с номером n. По задаче 5(1+m1)mn>(nmn)mn1.При m→∞(1+m1)mn=[(1+m1)m]n⟶enпо задаче 69. Кроме того,(nmn)mn1=n!mn(mn)(mn−1)⋯(mn−n+1)⟶n!nn.Переходя к пределу, получаемen≥n!nn.На самом деле равенство здесь невозможно: в биномиальном разложении присутствуют и другие положительные слагаемые; например, уточнённая оценка(1+m1)mn>1+(nmn)mn1после перехода к пределу даётen≥1+n!nn>n!nn.Следовательно,n!>(en)n.Правая оценка. При n>1 по задаче 8n!<(2n+1)n.Преобразуем правую часть:(2n+1)n=(2n)n(1+n1)n.По задаче 69(1+n1)n<e.Поэтому при n>1n!<e(2n)n.Случай n=1 также удовлетворяет неравенству, поскольку1<2e.В левой оценке строгий знак получен не из одного предельного перехода, который дал бы лишь нестрогое неравенство, а благодаря сохранению дополнительного положительного слагаемого. Это методически существенный момент.
