Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 88

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 88

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностиxn=1+12+13+⋯+1n.x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.

Опирается на

Доказательство

Сравним две удалённые частичные суммы xnx_n и x2nx_{2n}: между ними ровно nn положительных слагаемых.
Выбор двух далёких членов. Пустьxn=1+12+13+⋯+1n.x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.Для любого nn имеемx2n−xn=1n+1+1n+2+⋯+12n.\begin{aligned}
x_{2n}-x_n
&=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}.
\end{aligned}В этой сумме ровно nn слагаемых, и каждое из них не меньше 12n\frac1{2n}. Поэтомуx2n−xn≥n⋅12n=12.x_{2n}-x_n\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12.Проверка отрицания критерия Коши. Теперь возьмём произвольное NN, выберем n>Nn>N и положим p=np=n. Тогда p∈Np\in\mathbb N и p>0p>0, но∣xn−xn+p∣=∣xn−x2n∣=x2n−xn≥12.|x_n-x_{n+p}|=|x_n-x_{2n}|=x_{2n}-x_n\ge\frac12.Следовательно, отрицание критерия Коши выполняется с ε0=12\varepsilon_0=\frac12. Последовательность расходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 88 — решение | Высшая математика — Профиматика