Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 88

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 88

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.

Опирается на задачу 87

Доказательство

Идея

Чтобы опровергнуть условие Коши, достаточно найти одно положительное расстояние, которое сохраняется между членами как угодно далёкого хвоста. У гармонических частичных сумм удобно сравнить

x_n

x_{2n}

: между ними находится ровно

n

положительных слагаемых, каждое из которых можно оценить снизу. Затем сопоставим этот выбор с точной формулировкой из задачи 87.

1
Выбор двух далёких членов. Пусть $x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n.$ Для любого $n$ имеем $\begin{aligned}x_{2n}-x_n&=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}.\end{aligned}$ В этой сумме ровно $n$ слагаемых, и каждое из них не меньше $\frac1{2n}$ . Поэтому $x_{2n}-x_n\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12.$ Проверка отрицания критерия Коши. Теперь возьмём произвольное $N$ , выберем $n>N$ и положим $p=n$ . Тогда $p\in\mathbb N$ и $p>0$ , но $|x_n-x_{n+p}|=|x_n-x_{2n}|=x_{2n}-x_n\ge\frac12.$ Следовательно, отрицание критерия Коши выполняется с $\varepsilon_0=\frac12$ . Последовательность расходится.
2
Для каждого произвольного $N$ можно взять $n>N$ и положительный целый сдвиг $p=n$ ; тогда расстояние между $x_{n+p}$ и $x_n$ не меньше $\frac12$ . Тем самым выполнено точное отрицание критерия Коши из задачи 87, а не только показан рост нескольких заранее выбранных членов.

Проверка

Гармоническая последовательность частичных сумм расходится.

Что и требовалось доказать