Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 72

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 72

Зная, чтоlim⁡n→∞(1+1n)n=e,\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e,доказать, чтоlim⁡n→∞(1+1+12!+13!+⋯+1n!)=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}\right)=e.Вывести отсюда формулуe=2+12!+13!+⋯+1n!+θnn! n,(*)e=2+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots+\frac1{n!}
+\frac{\theta_n}{n!\,n},
\tag{*}где 0<θn<10<\theta_n<1, и вычислить число ee с точностью до 10−510^{-5}.

Опирается на ,

Доказательство

Предел конечных сумм

Пусть Sm=∑k=0m1k!S_m=\sum_{k=0}^{m}\frac1{k!}. Формула бинома Ньютона из №5 даёт(1+1n)n=∑k=0n1k!∏j=0k−1(1−jn).\left(1+\frac1n\right)^n
=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}
\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right).Зафиксируем mm и возьмём n≥mn\ge m. Отбрасывая слагаемые с k>mk>m и переходя к пределу в оставшейся конечной сумме, получим e≥Sme\ge S_m. Поэтому возрастающая последовательность SmS_m ограничена и имеет предел L≤eL\le e.

С другой стороны, при n≥2n\ge2 каждый множитель биномиальной суммы не превосходит 11, а при k≥2k\ge2 произведение строго меньше 11. Следовательно,(1+1n)n<Sn.\left(1+\frac1n\right)^n<S_n.Переход к пределу даёт e≤Le\le L. Значит, Sm→eS_m\to e.

Строгая оценка остатка

Зафиксируем n≥1n\ge1 и положим Rn=e−SnR_n=e-S_n. Поскольку Sm↗eS_m\nearrow e, имеем Rn>0R_n>0. Для m>nm>nSm−Sn=1n!∑j=1m−n1(n+1)⋯(n+j)≤1n!(n+1)∑j=0m−n−11(n+2)j.\begin{aligned}
S_m-S_n
&=\frac1{n!}\sum_{j=1}^{m-n}
\frac1{(n+1)\cdots(n+j)}\\
&\le\frac1{n!(n+1)}
\sum_{j=0}^{m-n-1}\frac1{(n+2)^j}.
\end{aligned}Правая часть является конечной геометрической суммой. При m→∞m\to\infty её предел равен n+2n!(n+1)2\frac{n+2}{n!(n+1)^2}, поэтому0<Rn≤n+2n!(n+1)2<1n! n.0<R_n\le\frac{n+2}{n!(n+1)^2}
<\frac1{n!\,n}.Последнее неравенство эквивалентно n(n+2)<(n+1)2n(n+2)<(n+1)^2. Следовательно, Rn=θnn! nR_n=\frac{\theta_n}{n!\,n} при некотором 0<θn<10<\theta_n<1.

Вычисление ee

Возьмём n=8n=8:S8=10960140320=2,718278769…,0<e−S8<18!⋅8<3,11⋅10−6.S_8=\frac{109601}{40320}=2{,}718278769\ldots,\qquad
0<e-S_8<\frac1{8!\cdot8}<3{,}11\cdot10^{-6}.Значит, число 2,718282{,}71828 отличается от ee менее чем на 2⋅10−62\cdot10^{-6}; требуемая точность 10−510^{-5} достигнута.

Что и требовалось доказать