Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 57

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 57

lim⁡n→∞(2 24 28⋯22n).\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt2\,\sqrt[4]2\,\sqrt[8]2\cdots\sqrt[2^n]2\right).

Опирается на

Решение

Обозначим произведение через PnP_n. ТогдаPn=212+14+⋯+12n=21−2−n=2212n.P_n=2^{\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}}
=2^{1-2^{-n}}=\frac2{2^{\frac1{2}^n}}.Здесь сумма показателей вычислена по формуле конечной геометрической прогрессии.
Положимun=212n−1>0.u_n=2^{\frac1{2^n}}-1>0.Тогда(1+un)2n=2.(1+u_n)^{2^n}=2.По строгому неравенству Бернулли из задачи (1+un)2n>1+2nun.(1+u_n)^{2^n}>1+2^n u_n.Следовательно,2>1+2nun,0<un<12n.2>1+2^n u_n,
\qquad
0<u_n<\frac1{2^n}.По теореме о зажатой последовательности un→0u_n\to0, то есть212n=1+un⟶1.2^{\frac1{2^n}}=1+u_n\longrightarrow1.ПоэтомуPn=2212n⟶2.P_n=\frac2{2^{\frac1{2^n}}}\longrightarrow2.Последний корень в произведении имеет показатель 12n\frac1{2^n},
поэтому сумма показателей действительно равна 1−2−n1-2^{-n}. Все основания
положительны, а оценка 0<un<12n0<u_n<\frac1{2^n} получена без обращения к
непрерывности показательной функции; преобразования степеней и последующий
предельный переход поэтому корректны.
2.2.