Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 49

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 49

lim⁡n→∞(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}.

Опирается на

Решение

Разделим числитель и знаменатель на 3n+13^{n+1}:(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1=13(−23)n+13(−23)n+1+1.\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}
=\frac{\frac13\left(-\frac23\right)^n+\frac13}
{\left(-\frac23\right)^{n+1}+1}.Так как ∣ ⁣−23∣<1\left|\!-\frac23\right|<1, его степени стремятся к нулю (№42, г). Знаменатель последней дроби стремится к 11 и потому не обращается в нуль при достаточно больших nn. Следовательно, предел равен131=13.\frac{\frac13}{1}=\frac13.