Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 49

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 49

lim⁡n→∞(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}.

Опирается на задачу 42

Решение

Идея

В подобных выражениях удобно разделить числитель и знаменатель на старшую степень (в нашем случае это 3n+13^{n+1}). Получаем:xn=(−2)n+3n(−2)n+1+3n+1=(−2)n3n+1+13(−23)n+1+1.x_n = \frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}} = \frac{\frac{(-2)^n}{3^{n+1}} + \frac{1}{3}}{\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} + 1}.Разберёмся с пределом в числителе. Оценим модуль первого слагаемого:∣(−2)n3n+1∣=13⋅(23)n<(23)n.\left|\frac{(-2)^n}{3^{n+1}}\right| = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n < \left(\frac{2}{3}\right)^n.По задаче 42(г) мы знаем, что qn→0q^n \to 0 при q∈(0,1)q \in (0,1). Значит, (23)n→0\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0, откуда предел всего числителя равен 0+13=130 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
Аналогично рассмотрим знаменатель: так как (−23)n+1→0\left(-\frac{2}{3}\right)^{n+1} \to 0, предел знаменателя равен 0+1=10 + 1 = 1.

Проверка

Отсюда наш итоговый предел - это предел отношения:1/31=13.\frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}.13.\frac13.
Демидович № 49 — решение