Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 45

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 45

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:а) lim⁡n→∞xn=∞;б) lim⁡n→∞xn=−∞;в) lim⁡n→∞xn=+∞.\text{а) }\lim_{n\to\infty}x_n=\infty;
\quad
\text{б) }\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty;
\quad
\text{в) }\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty.

Решение

Различие трёх бесконечных пределов видно из того, какая величина должна превысить каждый заданный порог.

Переведём каждую запись на язык фразы «после некоторого номера все члены
оказываются по нужную сторону заданного порога» и расставим кванторы в нужном
порядке.

Пункт а)

Записьlim⁡n→∞xn=∞\lim_{n\to\infty}x_n=\inftyв смысле бесконечно большой последовательности означает:
для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняется∣xn∣>E.|x_n|>E.Запишем это же утверждение в кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  ∣xn∣>E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies |x_n| > E.

Пункт б)

Записьlim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n\to\infty}x_n=-\inftyозначает:
для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняетсяxn<−E.x_n<-E.В кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  xn<−E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies x_n < -E.

Пункт в)

Записьlim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n\to\infty}x_n=+\inftyозначает:
для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняетсяxn>E.x_n>E.В кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  xn>E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies x_n > E.Кванторы расположены принципиально: сначала выбирается произвольный порог E>0E>0, затем допускается зависящий от него номер N(E)N(E), после которого условие выполняется для всех индексов.

Получены три определения в форме неравенств.