Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 45

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 45

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:а) lim⁡n→∞xn=∞;б) lim⁡n→∞xn=−∞;в) lim⁡n→∞xn=+∞.\text{а) }\lim_{n\to\infty}x_n=\infty;
\quad
\text{б) }\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty;
\quad
\text{в) }\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty.

Решение

Идея

Три записи похожи, но описывают разные виды поведения.
а) Символ ∞\infty без знака относится к модулю: важен рост
∣xn∣|x_n|, а знак самих членов может меняться.
б) Символ −∞-\infty задаёт уход последовательности в
отрицательную сторону.
в) Символ +∞+\infty задаёт уход последовательности в
положительную сторону.
  1. 1
    Переведём каждую запись на язык фразы «после некоторого номера все члены
    оказываются по нужную сторону заданного порога» и расставим кванторы в нужном
    порядке.
  2. 2

    Пункт а)

    Записьlim⁡n→∞xn=∞\lim_{n\to\infty}x_n=\inftyв смысле бесконечно большой последовательности означает:
    для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняется∣xn∣>E.|x_n|>E.Запишем это же утверждение в кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  ∣xn∣>E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies |x_n| > E.
  3. 3

    Пункт б)

    Записьlim⁡n→∞xn=−∞\lim_{n\to\infty}x_n=-\inftyозначает:
    для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняетсяxn<−E.x_n<-E.В кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  xn<−E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies x_n < -E.
  4. 4

    Пункт в)

    Записьlim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n\to\infty}x_n=+\inftyозначает:
    для всякого E>0E>0 существует номер N=N(E)N=N(E) такой, что при n>Nn>N выполняетсяxn>E.x_n>E.В кванторах:∀E>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  xn>E.\forall E > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies x_n > E.Кванторы расположены принципиально: сначала выбирается произвольный порог E>0E>0, затем допускается зависящий от него номер N(E)N(E), после которого условие выполняется для всех индексов.

Проверка

Получены три определения в форме неравенств.
Демидович № 45 — решение