Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 53

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что

n

пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на задачу 2

Решение

Идея

Общий знаменатель

n^3

позволяет сначала сложить числители. Там
возникает сумма квадратов от

1

до

n-1

, поэтому в формулу задачи 2 нужно
подставить

n-1

, а не

n

. После этой подстановки останется выделить
старшую степень и перейти к пределу.

Имеем

\frac{1^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}=\frac{1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3}.

По задаче 2

1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}6.

Следовательно,

\begin{aligned}\frac{1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}&=\frac16\left(1-\frac1n\right)\left(2-\frac1n\right)\end{aligned} \implies \frac16\cdot1\cdot2=\frac13.

Отсюда получаем, что

\lim_{n\to\infty}\frac{1^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3} = \lim_{n\to\infty}\frac16\left(1-\frac1n\right)\left(2-\frac1n\right) = \frac16\cdot1\cdot2=\frac13.

После применения формулы суммы квадратов из задачи 2 выражение сводится к рациональной функции от

n

. Деление на старшую степень позволяет явно увидеть конечный предел.

Проверка

\frac13.