Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 53

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 53

lim⁡n→∞(12n3+22n3+⋯+(n−1)2n3).\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}\right).

Опирается на

Решение

Сложим числители, пользуясь формулой №2 для суммы квадратов до n−1n-1:
12+22+⋯+(n−1)2n3=\displaystyle \frac{1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3}\mathrel{=}(n−1)n(2n−1)6n3=\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\mathrel{=}16(1−1n)(2−1n).\displaystyle \frac16\left(1-\frac1n\right)
\left(2-\frac1n\right).Оба множителя в скобках имеют конечные пределы 11 и 22. Искомый предел равен 13\frac13.