Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 60

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 60

lim⁡n→∞nkan=0(a>1).\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\qquad(a>1).

Опирается на

Доказательство

Пусть сначала kk — натуральное число и un=nkan>0u_n=\frac{n^k}{a^n}>0. Тогда
un+1un=1a(1+1n)k⟶1a<1.\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\frac1a\left(1+\frac1n\right)^k
\longrightarrow\frac1a<1.Выберем число rr так, чтобы 1a<r<1\frac1a<r<1. По определению предела найдётся NN, начиная с которого un+1un≤r\frac{u_{n+1}}{u_n}\le r. Поэтому при m≥0m\ge00<uN+m≤uNrm⟶0.0<u_{N+m}\le u_Nr^m\longrightarrow0.Если kk — произвольное фиксированное вещественное число, возьмём натуральное p≥max⁡{k,1}p\ge\max\{k,1\}. При n≥1n\ge10<nkan≤npan⟶0.0<\frac{n^k}{a^n}\le\frac{n^p}{a^n}\longrightarrow0.Таким образом, предел равен нулю и для вещественного kk.

Что и требовалось доказать