Демидович — задача 60

1. 1
   Найдем предел отношения следующего члена к предыдущему:$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{(n+1)^k}{a^{n+1}} \cdot \frac{a^n}{n^k} \right) = \lim_{n\to\infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^k \cdot \frac{1}{a} \right)$$Поскольку предел $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$ при $n \to \infty$ равен $1$, а $k$ - фиксированная константа, предел произведения $k$ скобок также равен $1^k = 1$. Отсюда:$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{a}$$По условию $a > 1$, значит, $\frac{1}{a} < 1$. По определению предела, начиная с некоторого номера $N$, само отношение становится строго меньше единицы:$$\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1 \implies x_{n+1} < x_n \quad \text{для всех } n \ge N$$Получается, что начиная с номера $N$ наша последовательность монотонно убывает. С другой стороны, она ограничена снизу нулем ($x_n > 0$). По теореме Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности, она имеет конечный предел. Обозначим его:$$\lim_{n\to\infty} x_n = L$$
2. 2
   Осталось доказать, что $L = 0$. Предположим противное: пусть $L \neq 0$. Тогда мы можем найти предел отношения через отношение пределов:$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} x_{n+1}}{\lim_{n\to\infty} x_n} = \frac{L}{L} = 1$$Но мы уже доказали ранее, что этот предел равен $\frac{1}{a}$, причём $\frac{1}{a} < 1$. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\qquad(a>1).$$

Что и требовалось доказать