Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 81

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 81

x1=2,x2=2+2,…,xn=2+2+⋯+2⏟n корней,….x_1=\sqrt2,\qquad x_2=\sqrt{2+\sqrt2},\qquad
\ldots,\qquad
x_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}_{n\text{ корней}},\qquad
\ldots .

Доказательство

Вложенную запись удобно превратить в рекуррентную:x1=2,xn+1=2+xn.x_1=\sqrt2,\qquad x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}.Покажем, что xn<2x_n<2 при всех nn. Для первого члена это верно; если xn<2x_n<2, то xn+1<2+2=2x_{n+1}<\sqrt{2+2}=2. Все члены положительны, так что последовательность ограничена.
Кроме того, x2>x1x_2>x_1. Из xn>xn−1x_n>x_{n-1} и возрастания квадратного корня следуетxn+1=2+xn>2+xn−1=xn.x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}>\sqrt{2+x_{n-1}}=x_n.Значит, xnx_n возрастает. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Если обозначить её предел через ll, то из рекурсии получаем l=2+ll=\sqrt{2+l}. Так как 0<l≤20<l\le2, уравнение l2−l−2=0l^2-l-2=0 оставляет единственный допустимый корень: l=2l=2.

Что и требовалось доказать