Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 81

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 81

x1=2,x2=2+2,…,xn=2+2+⋯+2⏟n корней,….x_1=\sqrt2,\qquad x_2=\sqrt{2+\sqrt2},\qquad
\ldots,\qquad
x_n=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}_{n\text{ корней}},\qquad
\ldots .

Доказательство

Идея

Во вложенной записи каждый следующий член получается из предыдущего одним и тем же действием: к предыдущему значению прибавляют 22, а затем извлекают квадратный корень. Это наблюдение даёт рекуррентную формулу и позволяет сравнивать соседние члены, не раскрывая всю цепочку радикалов. Сначала докажем возрастание и ограниченность сверху числом 22, а затем применим указанную в условии теорему. Чтобы вычислить предел без неявной ссылки на непрерывность квадратного корня, возведём рекуррентное равенство в квадрат.
Рекуррентная запись. Последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношениюx1=2,xn+1=2+xn.x_1=\sqrt2,
\qquad
x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}.Ограниченность. Докажем, что 0<xn<20<x_n<2 для всех nn. Для n=1n=1 это верно. Если xn<2x_n<2, тоxn+1=2+xn<4=2.x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt{4}=2.По индукции0<xn<2.0<x_n<2.Монотонность. Теперь докажем возрастание. Так как 2>0\sqrt2>0, то
x2=2+2>2=x1x_2=\sqrt{2+\sqrt2}>\sqrt2=x_1. Если xn>xn−1x_n>x_{n-1}, то из строгой монотонности функции u↦uu\mapsto\sqrt{u} на положительной полуоси следуетxn+1=2+xn>2+xn−1=xn.x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}>\sqrt{2+x_{n-1}}=x_n.Значит, xnx_n возрастает.

Отсюда по теореме о монотонной и ограниченной последовательности, получаем, что xnx_n сходится

Проверка

Последовательность сходится

Что и требовалось доказать

Демидович № 81 — решение