Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 87

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 87

Сформулировать, что значит, что для данной последовательности не выполнен критерий Коши.

Решение

Идея

Критерий Коши говорит, что в достаточно далёком хвосте все рассматриваемые пары членов становятся сколь угодно близкими. Его невыполнение означает обратное: остаётся одно фиксированное положительное расстояние, которое встречается как угодно далеко. Запишем эту мысль в форме оригинала, сравнивая xnx_n и xn+px_{n+p}, и внимательно изменим порядок кванторов.
  1. 1
    Исходное высказывание. Критерий Коши утверждает:∀ε>0 ∃N ∀n>N ∀p∈N, p>0:∣xn−xn+p∣<ε.\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n>N\ \forall p\in\mathbb N,\ p>0:
    \quad |x_n-x_{n+p}|<\varepsilon.    Логическое отрицание. Отрицая это высказывание и последовательно меняя кванторы, получаем:∃ε0>0 ∀N ∃n>N ∃p∈N, p>0:∣xn−xn+p∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\ \exists n>N\ \exists p\in\mathbb N,\ p>0:
    \quad |x_n-x_{n+p}|\ge\varepsilon_0.    Именно это означает, что последовательность не удовлетворяет критерию Коши.
  2. 2
    Здесь особенно важен порядок кванторов. Одно и то же число ε0>0\varepsilon_0>0 должно подходить для любого NN, а индекс nn и положительный целый сдвиг pp можно выбирать заново после фиксации NN. Отрицанием строгого неравенства <ε<\varepsilon служит неравенство ≥ε0\ge\varepsilon_0. Полученная запись эквивалентна симметричной форме с двумя индексами хвоста.

Проверка

Критерий Коши не выполнен, если∃ε0>0 ∀N ∃n>N ∃p∈N, p>0:∣xn−xn+p∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0\ \forall N\ \exists n>N\ \exists p\in\mathbb N,\ p>0:
\quad |x_n-x_{n+p}|\ge\varepsilon_0.
Демидович № 87 — решение