Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 89

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 89

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то любая ее подпоследовательность xpnx_{p_n} также сходится и имеет тот же самый предел:lim⁡n→∞xpn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Доказательство

Идея

В подпоследовательности сохраняется порядок исходных членов, а её натуральные индексы pnp_n строго возрастают. Поэтому pn≥np_n\ge n: достаточно далёкий по своему номеру член подпоследовательности обязательно лежит и в достаточно далёком хвосте исходной последовательности. Это позволит использовать тот же номер NN, который даёт определение предела xn→ax_n\to a.
Переход от номера подпоследовательности к исходному номеру. Пустьlim⁡n→∞xn=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a.Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. По определению предела существует номер NN такой, что∣xk−a∣<ε(k≥N).|x_k-a|<\varepsilon\qquad(k\ge N).Так как pnp_n — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, причём p1≥1p_1\ge1 и каждый следующий индекс увеличивается хотя бы на единицу, имеемpn≥n.p_n\ge n.Поэтому при n≥Nn\ge N также pn≥Np_n\ge N, а значит,∣xpn−a∣<ε.|x_{p_n}-a|<\varepsilon.Это и означает, чтоlim⁡n→∞xpn=a.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=a.Полученное неравенство pn≥np_n\ge n показывает, почему один и тот же номер N(ε)N(\varepsilon), найденный для исходной последовательности, подходит и для подпоследовательности. Никакого дополнительного выбора номера не требуется.

Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу:lim⁡n→∞xpn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.Замечание:
Наличие предела у последовательности очень удобно представлять наглядно: для любого, даже сколь угодно малого числа ε>0\varepsilon > 0, обязательно найдется такой номер NN, начиная с которого все элементы xnx_n окажутся заперты в ε\varepsilon-окрестности нашего предела.

Графически это выглядит так. Если по горизонтальной оси отложить номера nn, а по вертикальной - значения xnx_n, и провести горизонтальную прямую на уровне aa (предела последовательности), то суть определения становится очевидной. Для выбранного ε\varepsilon весь «хвост» последовательности, начиная с номера NN, навсегда останется внутри горизонтальной полосы, ограниченной линиями a−εa - \varepsilon и a+εa + \varepsilon.рисунок к задаче Демидовича № 89

Что и требовалось доказать

Демидович № 89 — решение