Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 89

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 89

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то любая ее подпоследовательность xpnx_{p_n} также сходится и имеет тот же самый предел:lim⁡n→∞xpn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Доказательство

Индексы подпоследовательности строго возрастают, поэтому pn≥np_n\ge n; дальние её члены остаются в дальнем хвосте исходной последовательности.
Переход от номера подпоследовательности к исходному номеру. Пустьlim⁡n→∞xn=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a.Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. По определению предела существует номер NN такой, что∣xk−a∣<ε(k≥N).|x_k-a|<\varepsilon\qquad(k\ge N).Так как pnp_n — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, причём p1≥1p_1\ge1 и каждый следующий индекс увеличивается хотя бы на единицу, имеемpn≥n.p_n\ge n.Поэтому при n≥Nn\ge N также pn≥Np_n\ge N, а значит,∣xpn−a∣<ε.|x_{p_n}-a|<\varepsilon.Это и означает, чтоlim⁡n→∞xpn=a.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=a.На рисунке по горизонтали отложены номера nn, по вертикали — значения xnx_n. Для выбранного ε>0\varepsilon>0 все члены с достаточно большими номерами лежат в полосе a−ε<xn<a+εa-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon. Выделенные синим члены подпоследовательности также остаются в этой полосе.рисунок к задаче Демидовича № 89

Что и требовалось доказать