Демидович — задача 70

1. 1
   По задаче 69$$x_n<e<y_n.$$Следовательно,$$0<e-x_n<y_n-x_n.$$При этом$y_n-x_n\mathrel{=}$$x_n\left(1+\frac1n-1\right)\mathrel{=}$$\frac{x_n}{n}.$
2. 2
   Докажем, что $x_n<3$. При $n=1$ имеем $x_1=2<3$. Пусть $n\ge2$. По биному Ньютона из задачи 5$$x_n$$
   =2+\sum_{k=2}^{n}
   \frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right).Каждое произведение в сумме положительно и меньше $1$, поэтому$$x_n<2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}.$$Так как $k!\ge2^{k-1}$ при $k\ge2$, то$$\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}$$
   \le\sum_{k=2}^{n}\frac1{2^{k-1}}
   =1-\frac1{2^{n-1}}<1.Следовательно, $x_n<3$ для всех натуральных $n$. Поэтому$$0<e-x_n<\frac{x_n}{n}<\frac3n.$$Чтобы гарантировать погрешность меньше $0.001$, достаточно иметь$$\frac3n\le0.001.$$Это выполняется при $n\ge3000$. В частности, при $n=3000$ из строгого неравенства
   $e-x_n<\frac3n=0.001$ также следует требуемая точность.
   
   Оценка ошибки выводится из зажатия задачи 69. Указанный номер $n$ гарантирует, а не только приблизительно предполагает, требуемую точность $0.001$.

Что и требовалось доказать