Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 46

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 46

lim⁡n→∞10000nn2+1.\lim_{n\to\infty}\frac{10000n}{n^2+1}.

Решение

Числитель растёт как nn, а знаменатель — как n2n^2. Чтобы это сравнение стало точным, разделим дробь на n2n^2:
10000nn2+1=10000n1+1n2.\frac{10000n}{n^2+1}
=\frac{\frac{10000}{n}}{1+\frac1{n^2}}.Числитель справа стремится к нулю, знаменатель — к 11. Следовательно, по правилу предела частного искомый предел равен 00.