Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 46

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 46

lim⁡n→∞10000nn2+1.\lim_{n\to\infty}\frac{10000n}{n^2+1}.

Решение

Идея

В знаменателе старшая степень на единицу выше, чем в числителе. Чтобы
это различие стало видно прямо в формуле, разделим числитель и знаменатель на
n2n^2. Тогда в числителе останется величина, стремящаяся к нулю, а
знаменатель будет стремиться к ненулевому числу.
  1. 1
    Разделим числитель и знаменатель на n2n^2:10000nn2+1=10000n1+1n2.\frac{10000n}{n^2+1}
    =\frac{\frac{10000}{n}}{1+\frac1{n^2}}.    При n→∞n\to\infty имеем10000n→0,1+1n2→1.\frac{10000}{n}\to0,
    \qquad
    1+\frac1{n^2}\to1.    Следовательно,lim⁡n→∞10000nn2+1=0.\lim_{n\to\infty}\frac{10000n}{n^2+1}=0.
  2. 2
    Знаменатель после деления на n2n^2 стремится к 1≠01\ne0, поэтому применение теоремы о пределе частного корректно. Тот же результат можно получить оценкой0<10000nn2+1<10000n.0<\frac{10000n}{n^2+1}<\frac{10000}{n}.Применяя здесь утверждение о зажатой последовательности, аналогично получаем, что xn→0x_n \to 0

Проверка

0.0.
Демидович № 46 — решение