Демидович — задача 76

1. 1
   Сначала установим вспомогательный последовательностный результат.
   Пусть$$u_n>0,$$
   \qquad
   u_n\to0.Начиная с некоторого номера $0<u_n<1$. По пункту б) задачи 75$$1+u_n<e^{u_n}.$$Применяя то же неравенство к числу $-u_n\ne0$, получаем$$1-u_n<e^{-u_n}.$$Здесь обе части положительны, поэтому после перехода к обратным величинам$$e^{u_n}<\frac1{1-u_n}.$$Таким образом,$$1+u_n<e^{u_n}<\frac1{1-u_n}.$$Вычитая $1$ и деля на $u_n>0$, имеем$$1<$$
   \frac{e^{u_n}-1}{u_n}
   <
   \frac1{1-u_n}.Обе крайние последовательности стремятся к $1$, поэтому по теореме о
   зажатой последовательности$$\frac{e^{u_n}-1}{u_n}\longrightarrow1.$$
2. 2
   Для отрицательной последовательности пусть$$v_n<0,$$
   \qquad
   v_n\to0,и положим $w_n=-v_n>0$. Из полученной выше цепочки после обращения следует$$1-w_n<e^{-w_n}<\frac1{1+w_n}.$$По теореме о зажатой последовательности$$e^{-w_n}\longrightarrow1.$$Кроме того,$$\frac{e^{v_n}-1}{v_n}$$
   =
   \frac{e^{-w_n}-1}{-w_n}
   =
   e^{-w_n}\frac{e^{w_n}-1}{w_n}.Оба множителя справа стремятся к $1$, следовательно,$$\frac{e^{v_n}-1}{v_n}\longrightarrow1.$$
3. 3
   Теперь вернёмся к исходной задаче. Если $a=1$, то$$n\left(a^{\frac1n}-1\right)=0=\ln1$$для каждого $n$.
   
   Пусть $a\ne1$ и$$t_n=\frac{\ln a}{n}.$$Тогда $t_n\ne0$ и $t_n\to0$. При $a>1$ последовательность $t_n$
   положительна, а при $0<a<1$ отрицательна. В обоих случаях доказанные выше
   оценки дают$$\frac{e^{t_n}-1}{t_n}\longrightarrow1.$$Поэтому$$\begin{aligned}$$
   n\left(a^{\frac1n}-1\right)
   &=n\left(e^{t_n}-1\right)\\
   &=\ln a\,\frac{e^{t_n}-1}{t_n}\\
   &\longrightarrow\ln a.
   \end{aligned}Все зажатия применены к последовательностям. При $u_n>0$
   деление выполняется только после проверки $u_n\ne0$, а обращение неравенств
   — после проверки положительности $1-u_n$. Случай $a=1$ отделён до
   появления отношения с нулевым знаменателем.

Что и требовалось доказать