Демидович — задача 90

1. 1
   Пусть последовательность $x_n$ монотонно возрастает.
   
   Пусть $x_{p_k}$ - её сходящаяся подпоследовательность с пределом $a$. По определению предела для $\varepsilon = 1$ существует такой номер $N$, что для всех $p_k > N$ выполняется:$$x_{p_k} < a + 1$$
2. 2
   Для существования предела $x_n$ по теореме Вейерштрасса осталось доказать, что она ограничена (снизу она ограничена своим первым членом $x_1$, значит, нужно показать ограниченность сверху).
3. 3
   Предположим противное: последовательность не ограничена числом $a+1$. Тогда существует номер $n > N$ такой, что $x_n \ge a + 1$.
4. 4
   Так как индексы подпоследовательности неограниченно растут, обязательно найдется номер $p_i > n$. Из монотонного возрастания всей последовательности следует:$$x_{p_i} \ge x_n \ge a + 1$$Однако, поскольку $p_i > n > N$, элемент $x_{p_i}$ обязан удовлетворять первоначальному условию: $x_{p_i} < a + 1$. Полученное противоречие ($a+1 \le x_{p_i} < a+1$) доказывает, что вся последовательность $x_n$ ограничена сверху, а значит - сходится.
   
   Случай монотонного убывания:

Что и требовалось доказать