Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 90

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 90

Доказать, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.

Опирается на

Доказательство

Сходящаяся подпоследовательность даст границу для всех членов монотонной последовательности.
Пусть xnx_n не убывает, а подпоследовательность xpkx_{p_k} сходится к aa. По определению предела найдётся KK, для которого xpk<a+1x_{p_k}<a+1 при всех k≥Kk\ge K.

Зафиксируем произвольный номер nn. Так как индексы pkp_k строго возрастают, можно выбрать k≥Kk\ge K с pk≥np_k\ge n. По монотонностиx1≤xn≤xpk<a+1.x_1\le x_n\le x_{p_k}<a+1.Итак, xn<a+1x_n<a+1 при любом nn. Монотонная ограниченная последовательность сходится; её предел равен aa по №89.
Если xnx_n не возрастает, последовательность −xn-x_n не убывает и имеет сходящуюся подпоследовательность −xpk→−a-x_{p_k}\to-a. По уже доказанному −xn→−a-x_n\to-a, то есть xn→ax_n\to a.
Следовательно, в обоих случаях исходная последовательность сходится к тому же пределу, что и её сходящаяся подпоследовательность.

Что и требовалось доказать