Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 67

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 67

Какое выражение больше при достаточно больших

n

\text{а) }100n+200\text{ или }0{,}01n^2?;

\text{б) }2^n\text{ или }n^{1000}?;\qquad\text{в) }1000^n\text{ или }n!?

Огромные значения самих выражений вычислять не нужно: достаточно
показать, что отношение одного кандидата к другому стремится к нулю. Тогда
это отношение в конце концов станет меньше единицы и тем самым определит
порядок выражений.
а) Предел отношения вычислим непосредственно.
б) Используем результат задачи 60 о превосходстве
показательного роста над степенным.
в) Используем задачу 61, где степенной рост сравнивается с
факториальным.

Опирается на задачу 60, задачу 61

Доказательство

1
Пункт а)
Имеем $\frac{100n+200}{0.01n^2}=\frac{10000}{n}+\frac{20000}{n^2}\longrightarrow0.$ Следовательно, начиная с некоторого номера это отношение меньше $1$ , то есть $01n^2>100n+200.$
2
Пункт б)
В задаче 60 доказано, что при $a>1$ и фиксированном натуральном $k$ $\frac{n^k}{a^n}\longrightarrow0.$ Подставляя $a=2$ и $k=1000$ , получаем $\frac{n^{1000}}{2^n}\longrightarrow0.$ Поэтому при достаточно больших $n$ $2^n>n^{1000}.$
3
Пункт в)
По задаче 61 при фиксированном $a=1000$ $\frac{1000^n}{n!}\longrightarrow0.$ Значит, при достаточно больших $n$ $n!>1000^n.$ Во всех трёх пунктах сравнивается отношение двух положительных выражений. Если это отношение стремится к нулю, то начиная с некоторого номера оно меньше $1$ , что и даёт требуемое строгое сравнение. Логарифмирование и вычисление огромных чисел здесь не нужны.

Проверка

При достаточно больших

n

больше:

\text{а) }0.01n^2,\qquad\text{б) }2^n,\qquad\text{в) }n!.

Что и требовалось доказать