Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 67

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 67

Какое выражение больше при достаточно больших nn:а) 100n+200 или 0,01n2?;\text{а) }100n+200\text{ или }0{,}01n^2?;б) 2n или n1000?;в) 1000n или n!?\text{б) }2^n\text{ или }n^{1000}?;
\qquad
\text{в) }1000^n\text{ или }n!?

Опирается на ,

Доказательство

Пункт а)

Имеем100n+2000,01n2=10000n+20000n2⟶0.\frac{100n+200}{0{,}01n^2}
=\frac{10000}{n}+\frac{20000}{n^2}\longrightarrow0.Следовательно, начиная с некоторого номера это отношение меньше 11, то есть0,01n2>100n+200.0{,}01n^2>100n+200.

Пункт б)

В задаче доказано, что при a>1a>1 и фиксированном натуральном kknkan⟶0.\frac{n^k}{a^n}\longrightarrow0.Подставляя a=2a=2 и k=1000k=1000, получаемn10002n⟶0.\frac{n^{1000}}{2^n}\longrightarrow0.Поэтому при достаточно больших nn2n>n1000.2^n>n^{1000}.

Пункт в)

По задаче при фиксированном a=1000a=10001000nn!⟶0.\frac{1000^n}{n!}\longrightarrow0.Значит, при достаточно больших nnn!>1000n.n!>1000^n.Во всех трёх пунктах сравнивается отношение двух положительных выражений. Если это отношение стремится к нулю, то начиная с некоторого номера оно меньше 11, что и даёт требуемое строгое сравнение. Логарифмирование и вычисление огромных чисел здесь не нужны.
При достаточно больших nn больше:а) 0,01n2,б) 2n,в) n!.\text{а) }0{,}01n^2,
\qquad
\text{б) }2^n,
\qquad
\text{в) }n!.

Что и требовалось доказать