Демидович — задача 82

1. 1
   Это означает, что существует такой номер $N$, начиная с которого разность между любыми двумя элементами хвоста последовательности будет меньше наперёд заданного, сколь угодно малого числа $\varepsilon$.
2. 2
   Если вычесть из более длинной суммы $x_m$ более короткую $x_n$, их общая начальная часть сократится и останется только конечный хвост. Коэффициенты этого хвоста ограничены числом $M$, а модули степеней $q$ образуют геометрическую прогрессию. Такая оценка не зависит от большего индекса $m$ и потому подходит для прямой проверки критерия Коши.
   
   Оценка произвольного хвоста. Пусть $m>n$. Тогда$$x_m-x_n=a_{n+1}q^{n+1}+\cdots+a_mq^m.$$По условию $|a_k|<M$, поэтому$$\begin{aligned}$$
   |x_m-x_n|
   &\le |a_{n+1}|\,|q|^{n+1}+\cdots+|a_m|\,|q|^m\\
   &<M\sum_{k=n+1}^{m}|q|^k.
   \end{aligned}Особый случай и геометрическая оценка. Если $q=0$, то$$x_n=a_0$$для каждого $n$, поэтому последовательность постоянна и сходится. Пусть теперь $0<|q|<1$. По формуле конечной геометрической прогрессии$$\sum_{k=n+1}^{m}|q|^k$$
   =|q|^{n+1}\frac{1-|q|^{m-n}}{1-|q|}
   \le\frac{|q|^{n+1}}{1-|q|}.Следовательно,$$|x_m-x_n|<\frac{M|q|^{n+1}}{1-|q|}.$$Проверка критерия Коши. Правая часть стремится к нулю при $n\to\infty$ и не зависит от $m$. Поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдётся номер $N$, для которого при $m>n\ge N$$$|x_m-x_n|<\varepsilon.$$Критерий Коши выполнен, следовательно, последовательность сходится.
   
   Важно, что полученная оценка хвоста не зависит от большего индекса $m$: после выбора $N$ она работает сразу для всех $m>n\ge N$. Случай $q=0$ рассмотрен отдельно, а при $0<|q|<1$ знаменатель $1-|q|$ положителен.

Что и требовалось доказать