Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 52

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 52

lim⁡n→∞∣1n−2n+3n−⋯+(−1)n−1nn∣.\lim_{n\to\infty}\left|\frac1n-\frac2n+\frac3n-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|.

Решение

Идея

Общий множитель 1n\frac1n можно вынести, и тогда остаётся чередующаяся сумма1−2+3−4+⋯+(−1)n−1n,1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n,значение которой зависит от чётности последнего номера. Поэтому отдельно
сгруппируем попарно члены при чётном и нечётном nn, а затем сравним пределы
двух полученных подпоследовательностей.
  1. 1
    Если n=2mn=2m, то1−2+3−4+⋯+(2m−1)−2m=(1−2)+(3−4)+⋯+((2m−1)−2m).1-2+3-4+\cdots+(2m-1)-2m
    =(1-2)+(3-4)+\cdots+((2m-1)-2m).    Каждая скобка равна −1-1, поэтому сумма равна −m-m. Тогда∣1−2+⋯−2m2m∣=m2m=12.\left|\frac{1-2+\cdots-2m}{2m}\right|=\frac m{2m}=\frac12.
  2. 2
    Если n=2m−1n=2m-1, то1−2+3−4+⋯−(2m−2)+(2m−1)=m.1-2+3-4+\cdots-(2m-2)+(2m-1)=m.Тогда∣m2m−1∣=m2m−1→12.\left|\frac{m}{2m-1}\right|=\frac{m}{2m-1}\to\frac12.В обоих случаях предел один и тот же.

    Разбиение на чётные и нечётные индексы необходимо: сами выражения различаются, но обе подпоследовательности имеют один предел 12\frac12. Отсюда следует, что вся последовательность также стремится к 12\frac12.

Проверка

12.\frac12.
Демидович № 52 — решение