Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 52

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 52

lim⁡n→∞∣1n−2n+3n−⋯+(−1)n−1nn∣.\lim_{n\to\infty}\left|\frac1n-\frac2n+\frac3n-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|.

Решение

Если n=2mn=2m, то1−2+3−4+⋯+(2m−1)−2m=(1−2)+(3−4)+⋯+((2m−1)−2m).1-2+3-4+\cdots+(2m-1)-2m
=(1-2)+(3-4)+\cdots+((2m-1)-2m).Каждая скобка равна −1-1, поэтому сумма равна −m-m. Тогда∣1−2+⋯−2m2m∣=m2m=12.\left|\frac{1-2+\cdots-2m}{2m}\right|=\frac m{2m}=\frac12.
Если n=2m−1n=2m-1, то1−2+3−4+⋯−(2m−2)+(2m−1)=m.1-2+3-4+\cdots-(2m-2)+(2m-1)=m.Тогда∣m2m−1∣=m2m−1→12.\left|\frac{m}{2m-1}\right|=\frac{m}{2m-1}\to\frac12.В обоих случаях предел один и тот же.

Формулы для чётных и нечётных номеров различаются, но оба предела равны 12\frac12. Поэтому и общий предел равен 12\frac12.12.\frac12.