Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 78

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 78

xn=101⋅113⋯n+92n−1.x_n=\frac{10}{1}\cdot\frac{11}{3}\cdots\frac{n+9}{2n-1}.

Доказательство

Идея

Каждый следующий член получается умножением на
n+92n−1\frac{n+9}{2n-1}. Сначала этот множитель больше единицы, но после
фиксированного номера становится меньше неё. Поэтому достаточно исследовать
хвост: он убывает и остаётся положительным. Это уже докажет сходимость, а
более грубая постоянная оценка множителей позволит дополнительно найти сам
предел.
Для n≥2n\ge2xnxn−1=n+92n−1.\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{n+9}{2n-1}.Этот множитель удовлетворяетn+92n−1{>1,n<10,=1,n=10,<1,n>10.\frac{n+9}{2n-1}
\begin{cases}
>1,&n<10,\\
=1,&n=10,\\
<1,&n>10.
\end{cases}Следовательно, начиная с n=10n=10 последовательность не возрастает. Все её члены положительны, поэтому она ограничена снизу числом 00. По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности xnx_n сходится.

Проверка

Последовательность сходится

Что и требовалось доказать

Демидович № 78 — решение | Высшая математика — Профиматика