Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 78

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 78

xn=101⋅113⋯n+92n−1.x_n=\frac{10}{1}\cdot\frac{11}{3}\cdots\frac{n+9}{2n-1}.

Доказательство

Все множители в xnx_n положительны. При n≥2n\ge2 переход от одного произведения к следующему задаётся отношением
xnxn−1=n+92n−1.\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{n+9}{2n-1}.Оно больше 11 при n<10n<10, равно 11 при n=10n=10 и меньше 11 при n>10n>10. Поэтому x9=x10x_9=x_{10}, а дальше положительная последовательность убывает. Её хвост монотонен и ограничен снизу нулём; следовательно, он сходится, а вместе с ним сходится и вся последовательность.

Что и требовалось доказать