Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 79

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 79

xn=(1−12)(1−14)⋯(1−12n).x_n=\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac14\right)\cdots
\left(1-\frac1{2^n}\right).

Доказательство

Идея

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на
положительное число, меньшее единицы. Значит, произведения последовательно
уменьшаются
Запишемxn=∏k=1n(1−12k).x_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac1{2^k}\right).Для каждого k≥1k\ge10<1−12k<1.0<1-\frac1{2^k}<1.Следовательно,xn+1=xn(1−12n+1)<xn.x_{n+1}=x_n\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)<x_n.При этом xn>0x_n>0 для всех nn. Значит, последовательность монотонно убывает и ограничена снизу числом 00. По теореме о монотонной и ограниченной последовательности она сходится.

Проверка

Последовательность∏k=1n(1−2−k)\prod_{k=1}^n\left(1-2^{-k}\right)сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 79 — решение