Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 79

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 79

xn=(1−12)(1−14)⋯(1−12n).x_n=\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac14\right)\cdots
\left(1-\frac1{2^n}\right).

Доказательство

Каждый множитель 1−2−k1-2^{-k} лежит строго между нулём и единицей. Поэтому xn>0x_n>0 и
xn+1=xn(1−12n+1)<xn.x_{n+1}=x_n\left(1-\frac1{2^{n+1}}\right)<x_n.Итак, положительная последовательность убывает. Она ограничена снизу нулём и, по теореме о монотонной ограниченной последовательности, имеет конечный предел.

Что и требовалось доказать