Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 50

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 50

lim⁡n→∞1+a+a2+⋯+an1+b+b2+⋯+bn,(∣a∣<1, ∣b∣<1).\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n},
\qquad (|a|<1,\ |b|<1).

Решение

Обозначим числитель и знаменатель как xn=1+a+a2+⋯+anx_n = 1+a+a^2+\cdots+a^n и yn=1+b+b2+⋯+bny_n = 1+b+b^2+\cdots+b^n соответственно. Тогда искомый предел - это lim⁡n→∞xnyn\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n}.

Воспользуемся формулой суммы конечной геометрической прогрессии:xn=1+a+a2+⋯+an=1−an+11−a.x_n = 1+a+a^2+\cdots+a^n = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}.Мы уже знаем, что an+1→0a^{n+1} \to 0 при n→∞n \to \infty (так как по условию ∣a∣<1|a| < 1). Следовательно, предел числителя равен:lim⁡n→∞xn=11−a.\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{1-a}.Аналогичным образом находим предел знаменателя (учитывая, что ∣b∣<1|b| < 1):lim⁡n→∞yn=11−b.\lim_{n \to \infty} y_n = \frac{1}{1-b}.Так как пределы числителя и знаменателя существуют, а предел знаменателя не равен нулю, мы можем воспользоваться теоремой о пределе частного. Отсюда искомый предел равен:lim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xnlim⁡n→∞yn=11−a11−b=1−b1−a.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} x_n}{\lim_{n\to\infty} y_n} = \frac{\frac{1}{1-a}}{\frac{1}{1-b}} = \frac{1-b}{1-a}.1−b1−a.\frac{1-b}{1-a}.
Демидович № 50 — решение