Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 50

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 50

lim⁡n→∞1+a+a2+⋯+an1+b+b2+⋯+bn,(∣a∣<1, ∣b∣<1).\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n},
\qquad (|a|<1,\ |b|<1).

Решение

Положим Sn(t)=1+t+⋯+tnS_n(t)=1+t+\cdots+t^n. Для t≠1t\ne1 конечная геометрическая сумма равна
Sn(t)=1−tn+11−t.S_n(t)=\frac{1-t^{n+1}}{1-t}.Из ∣a∣<1|a|<1 и ∣b∣<1|b|<1 следует an+1→0a^{n+1}\to0 и bn+1→0b^{n+1}\to0 (№42, г). ПоэтомуSn(a)⟶11−a,Sn(b)⟶11−b.S_n(a)\longrightarrow\frac1{1-a},\qquad
S_n(b)\longrightarrow\frac1{1-b}.Второй предел положителен, поскольку b<1b<1. По теореме о пределе частного искомое значение равноlim⁡n→∞Sn(a)Sn(b)=11−a11−b=1−b1−a.\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(a)}{S_n(b)}
=\frac{\frac1{1-a}}{\frac1{1-b}}
=\frac{1-b}{1-a}.