Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 62

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 62

lim⁡n→∞nqn=0,\lim_{n\to\infty}nq^n=0,если ∣q∣<1|q|<1.

Опирается на задачу 60

Доказательство

Идея

Условие ∣q∣<1|q|<1 означает, что степени ∣q∣n|q|^n убывают. Чтобы применить
уже доказанное сравнение показательного и линейного роста, перепишем
∣q∣n|q|^n как обратную степень числа a=1∣q∣>1a=\frac1{|q|}>1. Случай q=0q=0
отделим до этого преобразования, поскольку в нём результат следует сразу.
Если q=0q=0, то nqn=0nq^n=0 для каждого n≥1n\ge1, поэтому предел равен нулю. Пусть теперь 0<∣q∣<10<|q|<1 и положимa=1∣q∣>1.a=\frac1{|q|}>1.Тогда∣nqn∣=n∣q∣n=nan.|nq^n|=n|q|^n=\frac n{a^n}.По задаче 60 при k=1k=1nan⟶0.\frac n{a^n}\longrightarrow0.Следовательно,∣nqn∣→0,|nq^n|\to0,а значит, и nqn→0nq^n\to0.

При 0<∣q∣<10<|q|<1 выполняется 1∣q∣>1\frac1{|q|}>1, поэтому задача сводится к доказанному в задаче 60 превосходству показательного роста над линейным. Отдельная проверка q=0q=0 не позволяет потерять этот допустимый случай.

Проверка

lim⁡n→∞nqn=0(∣q∣<1).\lim_{n\to\infty}nq^n=0\qquad(|q|<1).

Что и требовалось доказать

Демидович № 62 — решение