Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 62

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 62

lim⁡n→∞nqn=0,\lim_{n\to\infty}nq^n=0,если ∣q∣<1|q|<1.

Опирается на

Доказательство

Если q=0q=0, все члены nqnnq^n равны нулю. Для 0<∣q∣<10<|q|<1 положим a=1∣q∣>1a=\frac1{|q|}>1. Тогда
∣nqn∣=nan⟶0|nq^n|=\frac n{a^n}\longrightarrow0по уже доказанному пределу №60 при k=1k=1. Раз модуль стремится к нулю, само число nqnnq^n также стремится к нулю. Оба допустимых случая рассмотрены.

Что и требовалось доказать