Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 44

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 44

Показать, что последовательность

x_n=n^{(-1)^n}\qquad(n=1,2,\ldots)

не ограничена, однако не является бесконечно большой при

n\to\infty

Доказательство

Идея

Показатель

(-1)^n

попеременно равен

1

-1

. Поэтому на чётных
номерах получаются растущие числа, а на нечётных — их обратные величины.
Это наблюдение подсказывает разделить последовательность на две
подпоследовательности: первая докажет неограниченность, а вторая не позволит
модулям всех членов стремиться к бесконечности.

1
Если $n=2k$ , то $(-1)^n=1$ , поэтому $x_{2k}=(2k)^1=2k.$ Эта подпоследовательность стремится к $+\infty$ , значит, вся последовательность не ограничена сверху и, следовательно, не ограничена.
2
Если же $n=2k-1$ , то $(-1)^n=-1$ , поэтому $x_{2k-1}=(2k-1)^{-1}=\frac1{2k-1}.$ Эта подпоследовательность стремится к нулю. Поэтому нельзя сказать, что $|x_n|\to\infty$ : например, при всех достаточно больших нечётных $n$ имеем $|x_n|<1$ .

Неограниченность всей последовательности следует уже из неограниченности чётной подпоследовательности. Для опровержения бесконечно большого предела достаточно предъявить бесконечно много членов, модуль которых остаётся меньше фиксированного числа, например $1$ .

Проверка

Последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой.

Что и требовалось доказать