Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 44

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 44

Показать, что последовательностьxn=n(−1)n(n=1,2,…)x_n=n^{(-1)^n}\qquad(n=1,2,\ldots)не ограничена, однако не является бесконечно большой при n→∞n\to\infty.

Доказательство

На чётных и нечётных номерах получаются разные подпоследовательности. Одна неограниченна, другая стремится к нулю.

Если n=2kn=2k, то (−1)n=1(-1)^n=1, поэтомуx2k=(2k)1=2k.x_{2k}=(2k)^1=2k.Эта подпоследовательность стремится к +∞+\infty, значит, вся последовательность не ограничена сверху и, следовательно, не ограничена.
Если же n=2k−1n=2k-1, то (−1)n=−1(-1)^n=-1, поэтомуx2k−1=(2k−1)−1=12k−1.x_{2k-1}=(2k-1)^{-1}=\frac1{2k-1}.Эта подпоследовательность стремится к нулю. Поэтому нельзя сказать, что ∣xn∣→∞|x_n|\to\infty: например, при всех достаточно больших нечётных nn имеем ∣xn∣<1|x_n|<1.

Последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой.

Что и требовалось доказать