Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 59

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 59

lim⁡n→∞2nn!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.

Доказательство

При n≥3n\ge3 представим дробь как произведение:2nn!=21⋅22⋅∏k=3n2k.\frac{2^n}{n!}
=\frac21\cdot\frac22\cdot\prod_{k=3}^{n}\frac2k.Первые два множителя дают 22, а для каждого k≥3k\ge3 имеем 2k≤23\frac2k\le\frac23. Поэтому0<2nn!≤2(23)n−2⟶00<\frac{2^n}{n!}\le
2\left(\frac23\right)^{n-2}\longrightarrow0по результату №42, г. Оценка верна и при n=3n=3, когда оставшееся произведение состоит из одного множителя.

Что и требовалось доказать