Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 59

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 59

lim⁡n→∞2nn!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.

Доказательство

Идея

Верен общий факт, что:lim⁡n→∞qnn!=0,∀q>1\lim_{n\to\infty}\frac{q^n}{n!}=0, \forall q > 1Но докажем, пока что, только его частный случай.
Запишем нашу последовательность в виде произведения nn дробей:xn=2nn!=21⋅22⋅23⋅24⋯2nx_n = \frac{2^n}{n!} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdots \frac{2}{n}Первые два множителя дают 21⋅22=2\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} = 2. Начиная с третьего множителя (k≥3k \ge 3), каждая дробь удовлетворяет очевидному неравенству 2k≤23\frac{2}{k} \le \frac{2}{3}. Всего таких дробей от 33 до nn ровно n−2n-2 штуки.

Заменим каждую такую дробь на 23\frac{2}{3} и получим строгую оценку сверху (для n≥3n \ge 3):0<xn≤2⋅23⋅23⋯23=2⋅(23)n−20 < x_n \le 2 \cdot {\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2}{3}} = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}Поскольку основание степени меньше единицы (23<1\frac{2}{3} < 1), то (23)n−2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2} стремится к нулю при n→∞n \to \infty.

Проверка

Тогда по теореме о зажатой последовательности вся наша последовательность xnx_n тоже обязана стремиться к нулю:lim⁡n→∞2nn!=0\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!} = 0lim⁡n→∞2nn!=0.\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n!}=0.

Что и требовалось доказать

Демидович № 59 — решение