Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 69

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 69

Доказать, что последовательностьxn=(1+1n)n(n=1,2,…)x_n=\left(1+\frac1n\right)^n
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательностьyn=(1+1n)n+1(n=1,2,…)y_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий пределlim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n
=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e.Указание. Составить отношения xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n}, ynyn−1\frac{y_n}{y_{n-1}} и воспользоваться неравенством примера 7.

Опирается на задачу 7

Доказательство

Идея

Последовательности xnx_n и yny_n отличаются только одним множителем
1+1n1+\frac1n, поэтому естественно исследовать их вместе. Сначала сравним
соседние члены каждой последовательности через их отношения; нужный знак
даст строгое неравенство Бернулли из задачи 7. Затем одна последовательность
послужит границей для другой, а точная разность yn−xny_n-x_n позволит доказать,
что два полученных предела совпадают.
  1. 1
    Для n≥1n\ge1xn+1xn=n+2n+1(1−1(n+1)2)n.\frac{x_{n+1}}{x_n}
    =\frac{n+2}{n+1}
    \left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^n.    При n=1n=1 непосредственно x2=94>x1=2x_2=\frac94>x_1=2. Для n≥2n\ge2 по задаче 7(1−1(n+1)2)n>1−n(n+1)2.\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^n
    >1-\frac{n}{(n+1)^2}.    Поэтомуxn+1xn>n+2n+1(1−n(n+1)2).\frac{x_{n+1}}{x_n}
    >\frac{n+2}{n+1}\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right).    Вычтем из правой части единицу:n+2n+1(1−n(n+1)2)−1=1(n+1)3>0.\frac{n+2}{n+1}\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)-1
    =\frac1{(n+1)^3}>0.    Следовательно, xn+1>xnx_{n+1}>x_n.
  2. 2
    Для исследования yny_n рассмотрим обратное отношение при n≥2n\ge2:yn−1yn=(1+1n−1)n(1+1n)n+1=nn+1(n2n2−1)n=nn+1(1+1n2−1)n.\frac{y_{n-1}}{y_n}
    =\frac{\left(1+\frac1{n-1}\right)^n}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}
    =\frac{n}{n+1}\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^n
    =\frac{n}{n+1}\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^n.    Применим неравенство Бернулли из задачи 7:(1+1n2−1)n>1+nn2−1>1+nn2=1+1n=n+1n.\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^n > 1+\frac{n}{n^2-1} > 1+\frac{n}{n^2} = 1+\frac1n = \frac{n+1}{n}.Умножая на первый множитель, получаем:yn−1yn>nn+1⋅n+1n=1.\frac{y_{n-1}}{y_n} > \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} = 1.Поэтому yn−1>yny_{n-1}>y_n, то есть yny_n убывает.

    Кроме того,yn=(1+1n)xn>xn.y_n=\left(1+\frac1n\right)x_n>x_n.Так как yny_n убывает, xn<yn≤y1=4x_n<y_n\le y_1=4, то есть xnx_n ограничена сверху. Так как xnx_n возрастает, yn>xn≥x1=2y_n>x_n\ge x_1=2, то есть yny_n ограничена снизу. Следовательно, существуют конечные пределыxn→L,yn→M.x_n\to L,
    \qquad
    y_n\to M.    Наконец,yn−xn=xnn.y_n-x_n=\frac{x_n}{n}.Последовательность xnx_n ограничена, поэтому xnn→0\frac{x_n}{n}\to0, а значит, M−L=0M-L=0. Общий предел обозначается через ee.
  3. 3
    Для существования общего предела недостаточно одной монотонности: отдельно доказаны ограниченность xnx_n сверху и yny_n снизу, а затем совпадение их пределов через разность yn−xny_n-x_n. Полученное число определяется как ee.

Проверка

lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n
=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e.

Что и требовалось доказать

Демидович № 69 — решение