Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 69

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 69

Доказать, что последовательностьxn=(1+1n)n(n=1,2,…)x_n=\left(1+\frac1n\right)^n
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательностьyn=(1+1n)n+1(n=1,2,…)y_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}
\qquad(n=1,2,\ldots)монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий пределlim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e.\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n
=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e.Указание. Составить отношения xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n}, ynyn−1\frac{y_n}{y_{n-1}} и воспользоваться неравенством примера 7.

Опирается на

Доказательство

Возрастание xnx_n

Сравним соседние члены обеих последовательностей по биному Ньютона, затем используем связь между ними.

Для n≥1n\ge1xn+1xn=n+2n+1(1−1(n+1)2)n.\frac{x_{n+1}}{x_n}
=\frac{n+2}{n+1}
\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^n.При n=1n=1 непосредственно x2=94>2=x1x_2=\frac94>2=x_1. При n≥2n\ge2 неравенство Бернулли из №7 даёт(1−1(n+1)2)n>1−n(n+1)2.\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^n
>1-\frac{n}{(n+1)^2}.После умножения на n+2n+1\frac{n+2}{n+1} полученная нижняя граница превосходит единицу ровно на 1(n+1)3\frac1{(n+1)^3}. Итак, xn+1>xnx_{n+1}>x_n.

Убывание yny_n

При n≥2n\ge2 сравним yny_n с предыдущим членом:yn−1yn=nn+1(1+1n2−1)n>nn+1(1+nn2−1)>nn+1(1+1n)=1.\begin{aligned}
\frac{y_{n-1}}{y_n}
&=\frac{n}{n+1}
\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^n\\
&>\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{n}{n^2-1}\right)
>\frac{n}{n+1}\left(1+\frac1n\right)=1.
\end{aligned}Оба строгих неравенства следуют из №7 и из n2−1<n2n^2-1<n^2. Поэтому yn<yn−1y_n<y_{n-1}.

Общий предел

Так как yn=(1+1n)xn>xny_n=(1+\frac1n)x_n>x_n, убывание yny_n ограничивает xnx_n сверху числом y1=4y_1=4, а возрастание xnx_n ограничивает yny_n снизу числом x1=2x_1=2. Обе монотонные ограниченные последовательности имеют конечные пределы. Наконец,yn−xn=xnn⟶0y_n-x_n=\frac{x_n}{n}\longrightarrow0в силу ограниченности xnx_n. Значит, их пределы совпадают. Обозначим общий предел через ee.

Что и требовалось доказать