Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 86

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 86

Говорят, что последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) имеет ограниченное изменение, если существует число CC такое, что∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+⋯+∣xn−xn−1∣<C(n=2,3,…).|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\cdots+|x_n-x_{n-1}|<C
\quad(n=2,3,\ldots).Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Доказательство

Идея

Условие складывает модули всех последовательных приращений, то есть измеряет суммарный размер пройденных «шагов». Обозначим эту накопленную величину через VnV_n. Она может только возрастать, но по условию остаётся меньше CC; её сходимость позволит оценить любое далёкое приращение ∣xm−xn∣|x_m-x_n| и применить критерий Коши. Для обратного утверждения нужна сходящаяся последовательность, которая продолжает менять знак: подойдёт xn=(−1)nnx_n=\frac{(-1)^n}{n}. Неограниченность её полного изменения докажем непосредственно, не ссылаясь на ещё не установленный результат о гармоническом ряде.
Сходимость последовательности ограниченного изменения. ОбозначимV1=0,Vn=∑k=1n−1∣xk+1−xk∣(n≥2).V_1=0,
\qquad
V_n=\sum_{k=1}^{n-1}|x_{k+1}-x_k|\quad(n\ge2).ИмеемVn+1=Vn+∣xn+1−xn∣≥Vn,V_{n+1}=V_n+|x_{n+1}-x_n|\ge V_n,то есть VnV_n не убывает. По условию Vn<CV_n<C, поэтому VnV_n ограничена сверху и, следовательно, сходится к некоторому конечному числу VV.

Пусть m>nm>n. По неравенству треугольника∣xm−xn∣=∣∑k=nm−1(xk+1−xk)∣≤∑k=nm−1∣xk+1−xk∣=Vm−Vn.\begin{aligned}
|x_m-x_n|
&=\left|\sum_{k=n}^{m-1}(x_{k+1}-x_k)\right|\\
&\le\sum_{k=n}^{m-1}|x_{k+1}-x_k|\\
&=V_m-V_n.
\end{aligned}Покажем эту малость с нужным порядком кванторов. Для заданного ε>0\varepsilon>0 выберем NN так, чтобы при j≥Nj\ge N∣Vj−V∣<ε2.|V_j-V|<\frac\varepsilon2.Тогда для любых m>n≥Nm>n\ge N0≤Vm−Vn≤∣Vm−V∣+∣Vn−V∣<ε.0\le V_m-V_n
\le |V_m-V|+|V_n-V|
<\varepsilon.Следовательно, ∣xm−xn∣<ε|x_m-x_n|<\varepsilon. Последовательность xnx_n удовлетворяет критерию Коши и сходится.

Контрпример к обратному утверждению. Покажем, что обратное утверждение неверно. Возьмёмxn=(−1)nn.x_n=\frac{(-1)^n}{n}.Так как∣xn∣=1n⟶0,|x_n|=\frac1n\longrightarrow0,то по определению предела xn→0x_n\to0. Однако∣xk+1−xk∣=∣(−1)k+1k+1−(−1)kk∣=1k+1+1k.|x_{k+1}-x_k|
=\left|\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}-\frac{(-1)^k}{k}\right|
=\frac1{k+1}+\frac1k.ПоэтомуVn=∑k=1n−1(1k+1k+1)≥∑k=1n−11k.V_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)
\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k.Обозначим через HN=∑k=1N1kH_N=\sum_{k=1}^{N}\frac1k гармоническую сумму. Для N=2mN=2^mH2m=1+∑j=1m∑k=2j−1+12j1k≥1+∑j=1m2j−1⋅12j=1+m2.\begin{aligned}
H_{2^m}
&=1+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\frac1k\\
&\ge1+\sum_{j=1}^{m}2^{j-1}\cdot\frac1{2^j}\\
&=1+\frac m2.
\end{aligned}При этомV2m+1≥H2m≥1+m2.V_{2^m+1}\ge H_{2^m}\ge1+\frac m2.При m→∞m\to\infty правая часть неограниченно возрастает. Следовательно, VnV_n не ограничена и последовательность (−1)nn\frac{(-1)^n}{n} не имеет ограниченного изменения.

В первой части сходимость накопленных абсолютных приращений не предполагается заранее: последовательность VnV_n сама оказывается монотонной и ограниченной. В контрпримере неограниченность гармонических сумм доказана непосредственно группировкой по степеням двойки.

Проверка

Всякая последовательность с ограниченным изменением сходится. Обратное утверждение неверно; контрпример:xn=(−1)nn.x_n=\frac{(-1)^n}{n}.

Что и требовалось доказать