Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 86

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 86

Говорят, что последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) имеет ограниченное изменение, если существует число CC такое, что∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+⋯+∣xn−xn−1∣<C(n=2,3,…).|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\cdots+|x_n-x_{n-1}|<C
\quad(n=2,3,\ldots).Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Доказательство

Суммы модулей последовательных приращений ограничены и не убывают; их сходимость даст условие Коши для xnx_n.
Сходимость последовательности ограниченного изменения. ОбозначимV1=0,Vn=∑k=1n−1∣xk+1−xk∣(n≥2).V_1=0,
\qquad
V_n=\sum_{k=1}^{n-1}|x_{k+1}-x_k|\quad(n\ge2).ИмеемVn+1=Vn+∣xn+1−xn∣≥Vn,V_{n+1}=V_n+|x_{n+1}-x_n|\ge V_n,то есть VnV_n не убывает. По условию Vn<CV_n<C, поэтому VnV_n ограничена сверху и, следовательно, сходится к некоторому конечному числу VV.

Пусть m>nm>n. По неравенству треугольника∣xm−xn∣=∣∑k=nm−1(xk+1−xk)∣≤∑k=nm−1∣xk+1−xk∣=Vm−Vn.\begin{aligned}
|x_m-x_n|
&=\left|\sum_{k=n}^{m-1}(x_{k+1}-x_k)\right|\\
&\le\sum_{k=n}^{m-1}|x_{k+1}-x_k|\\
&=V_m-V_n.
\end{aligned}Покажем эту малость с нужным порядком кванторов. Для заданного ε>0\varepsilon>0 выберем NN так, чтобы при j≥Nj\ge N∣Vj−V∣<ε2.|V_j-V|<\frac\varepsilon2.Тогда для любых m>n≥Nm>n\ge N0≤Vm−Vn≤∣Vm−V∣+∣Vn−V∣<ε.0\le V_m-V_n
\le |V_m-V|+|V_n-V|
<\varepsilon.Следовательно, ∣xm−xn∣<ε|x_m-x_n|<\varepsilon. Последовательность xnx_n удовлетворяет критерию Коши и сходится.

Контрпример к обратному утверждению. Покажем, что обратное утверждение неверно. Возьмёмxn=(−1)nn.x_n=\frac{(-1)^n}{n}.Так как∣xn∣=1n⟶0,|x_n|=\frac1n\longrightarrow0,то по определению предела xn→0x_n\to0. Однако∣xk+1−xk∣=∣(−1)k+1k+1−(−1)kk∣=1k+1+1k.|x_{k+1}-x_k|
=\left|\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}-\frac{(-1)^k}{k}\right|
=\frac1{k+1}+\frac1k.ПоэтомуVn=∑k=1n−1(1k+1k+1)≥∑k=1n−11k.V_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1k+\frac1{k+1}\right)
\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k.Обозначим через HN=∑k=1N1kH_N=\sum_{k=1}^{N}\frac1k гармоническую сумму. Для N=2mN=2^mH2m=1+∑j=1m∑k=2j−1+12j1k≥1+∑j=1m2j−1⋅12j=1+m2.\begin{aligned}
H_{2^m}
&=1+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\frac1k\\
&\ge1+\sum_{j=1}^{m}2^{j-1}\cdot\frac1{2^j}\\
&=1+\frac m2.
\end{aligned}При этомV2m+1≥H2m≥1+m2.V_{2^m+1}\ge H_{2^m}\ge1+\frac m2.Правая часть неограниченна по mm. Поэтому VnV_n не ограничена и (−1)nn\frac{(-1)^n}{n} не имеет ограниченного изменения.

Мы получили сходимость VnV_n из её монотонности и ограниченности. Неограниченность вариации в примере установлена группировкой гармонических сумм.

Всякая последовательность с ограниченным изменением сходится. Обратное утверждение неверно; контрпример:xn=(−1)nn.x_n=\frac{(-1)^n}{n}.

Что и требовалось доказать