Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 43

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 43

Доказать, что последовательности:а) xn=(−1)nn;б) xn=2n;в) xn=lg⁡(lg⁡n) (n≥2)\text{а) }x_n=(-1)^n n;
\quad
\text{б) }x_n=2^{\sqrt n};
\quad
\text{в) }x_n=\lg(\lg n)\ (n\ge2)имеют бесконечный предел при n→∞n\to\infty (т. е. являются бесконечно большими), определив для всякого E>0E>0 число N=N(E)N=N(E) такое, что ∣xn∣>E|x_n|>E при n>Nn>N. Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:E10100100010 000…N\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
N&&&&&
\end{array}

Доказательство

Для каждого пункта найдём номер, после которого модуль членов превышает произвольный порог.

В каждом пункте преобразуем неравенство ∣xn∣>E|x_n|>E в условие на nn и по нему
выберем номер N(E)N(E).

Пункт а)

Пустьxn=(−1)nn.x_n=(-1)^n n.Тогда∣xn∣=n.|x_n|=n.Достаточно потребовать n>En>E. Поэтому можно взятьN(E)=max⁡{1,⌊E⌋}.N(E)=\max\{1,\lfloor E\rfloor\}.

Пункт б)

Пустьxn=2n.x_n=2^{\sqrt n}.Нужно, чтобы2n>E.2^{\sqrt n}>E.При E>1E>1 логарифмируем по основанию 22:n>log⁡2E,n>(log⁡2E)2.\sqrt n>\log_2 E,
\qquad
n>(\log_2 E)^2.Подходит выборN(E)=max⁡{1,⌊(log⁡2E)2⌋}.N(E)=\max\left\{1,\left\lfloor (\log_2 E)^2\right\rfloor\right\}.Если 0<E≤10<E\le1, можно взять N=1N=1.

Пункт в)

Пустьxn=lg⁡(lg⁡n),n≥2.x_n=\lg(\lg n),\qquad n\ge2.Нужно выполнитьlg⁡(lg⁡n)>E.\lg(\lg n)>E.Последовательно получаемlg⁡n>10E,n>1010E.\lg n>10^E,
\qquad
n>10^{10^E}.Поэтому можно взять, например,N(E)=⌊1010E⌋.N(E)=\left\lfloor 10^{10^E}\right\rfloor.
Для указанных значений EE имеем:E10100100010000а)10100100010000б)114499176в)101010101010010101000101010000\begin{array}{c|cccc}
E&10&100&1000&10000\\ \hline
\text{а)}&10&100&1000&10000\\
\text{б)}&11&44&99&176\\
\text{в)}&10^{10^{10}}&10^{10^{100}}&10^{10^{1000}}&10^{10^{10000}}
\end{array}Все три последовательности являются бесконечно большими в смысле ∣xn∣→∞|x_n|\to\infty.

Что и требовалось доказать