Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 43

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 43

Доказать, что последовательности:а) xn=(−1)nn;б) xn=2n;в) xn=lg⁡(lg⁡n) (n≥2)\text{а) }x_n=(-1)^n n;
\quad
\text{б) }x_n=2^{\sqrt n};
\quad
\text{в) }x_n=\lg(\lg n)\ (n\ge2)имеют бесконечный предел при n→∞n\to\infty (т. е. являются бесконечно большими), определив для всякого E>0E>0 число N=N(E)N=N(E) такое, что ∣xn∣>E|x_n|>E при n>Nn>N. Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:E10100100010 000…N\begin{array}{c|ccccc}
E&10&100&1000&10\,000&\ldots\\ \hline
N&&&&&
\end{array}

Доказательство

Идея

Вспомним, что означает, что последовательность имеет бесконечный предел:∀C>0 ∃N ⁣:∀n>N  ⟹  ∣xn∣>C.\forall C > 0 \ \exists N \colon \forall n > N \implies |x_n| > C.Здесь у нас вместо привычного ε\varepsilon появляется константа CC, она также является любой положительной, но тут мы подразумеваем под ней сколь угодно большое число.
  1. 1
    В каждом пункте преобразуем неравенство ∣xn∣>E|x_n|>E в условие на nn и по нему
    выберем номер N(E)N(E).
  2. 2

    Пункт а)

    Пустьxn=(−1)nn.x_n=(-1)^n n.Тогда∣xn∣=n.|x_n|=n.Достаточно потребовать n>En>E. Поэтому можно взятьN(E)=max⁡{1,⌊E⌋}.N(E)=\max\{1,\lfloor E\rfloor\}.
  3. 3

    Пункт б)

    Пустьxn=2n.x_n=2^{\sqrt n}.Нужно, чтобы2n>E.2^{\sqrt n}>E.При E>1E>1 логарифмируем по основанию 22:n>log⁡2E,n>(log⁡2E)2.\sqrt n>\log_2 E,
    \qquad
    n>(\log_2 E)^2.    Подходит выборN(E)=max⁡{1,⌊(log⁡2E)2⌋}.N(E)=\max\left\{1,\left\lfloor (\log_2 E)^2\right\rfloor\right\}.Если 0<E≤10<E\le1, можно взять N=1N=1.
  4. 4

    Пункт в)

    Пустьxn=lg⁡(lg⁡n),n≥2.x_n=\lg(\lg n),\qquad n\ge2.Нужно выполнитьlg⁡(lg⁡n)>E.\lg(\lg n)>E.Последовательно получаемlg⁡n>10E,n>1010E.\lg n>10^E,
    \qquad
    n>10^{10^E}.    Поэтому можно взять, например,N(E)=⌊1010E⌋.N(E)=\left\lfloor 10^{10^E}\right\rfloor.
  5. 5
    Для указанных значений EE имеем:E10100100010000а)10100100010000б)114499176в)101010101010010101000101010000\begin{array}{c|cccc}
    E&10&100&1000&10000\\ \hline
    \text{а)}&10&100&1000&10000\\
    \text{б)}&11&44&99&176\\
    \text{в)}&10^{10^{10}}&10^{10^{100}}&10^{10^{1000}}&10^{10^{10000}}
    \end{array}

Проверка

Все три последовательности являются бесконечно большими в смысле ∣xn∣→∞|x_n|\to\infty.

Что и требовалось доказать