Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 51

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 51

lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).

Опирается на задачу 1

Решение

Идея

У всех слагаемых один знаменатель n2n^2, поэтому их можно собрать в
одну дробь. В числителе появится знакомая сумма
1+2+⋯+(n−1)1+2+\cdots+(n-1). Подставим в формулу задачи 1 именно n−1n-1, после чего
сократим дробь и перейдём к пределу.
Вынесем общий знаменатель:1n2+2n2+⋯+n−1n2=1+2+⋯+(n−1)n2.\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}
=\frac{1+2+\cdots+(n-1)}{n^2}.По задаче 11+2+⋯+(n−1)=(n−1)n2.1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}.Поэтому1+2+⋯+(n−1)n2=n(n−1)2n2=12(1−1n).\frac{1+2+\cdots+(n-1)}{n^2}
=\frac{n(n-1)}{2n^2}
=\frac12\left(1-\frac1n\right).Переходя к пределу, получаемlim⁡n→∞12(1−1n)=lim⁡n→∞12∗lim⁡n→∞(1−1n)=12.\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1-\frac1n\right)= \lim_{n\to\infty}\frac12 * \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right) = \frac12.В формулу задачи 1 подставляется n−1n-1, поскольку в числителе суммируются числа от 11 до n−1n-1. После этой подстановки выражение превращается в рациональную функцию от nn, и предел вычисляется непосредственным делением на старшую степень.

Проверка

12.\frac12.