Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 51

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 51

lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}\right).

Опирается на

Решение

В числителе стоит конечная сумма 1+⋯+(n−1)1+\cdots+(n-1). По формуле №1 она равна n(n−1)2\frac{n(n-1)}2. Поэтому
1n2+2n2+⋯+n−1n2=n(n−1)2n2=12(1−1n).\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}
=\frac{n(n-1)}{2n^2}
=\frac12\left(1-\frac1n\right).Остаётся перейти к пределу: 1n→0\frac1n\to0, а значит, искомый предел равен 12\frac12.