Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 48

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 48

lim⁡n→∞n2sin⁡n!3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n^2\sin n!}}{n+1}.

Решение

Идея

В числителе нашего выражения присутствует sin⁡(n!)\sin(n!), с которым не стоит работать напрямую. Вместо этого удобно избавиться от синуса, оценив его максимальным значением:
Рассмотрим модуль выражения:∣n2sin⁡(n!)3n+1∣.\left|\frac{\sqrt[3]{n^2\sin(n!)}}{n+1}\right|.Так как ∣sin⁡(n!)∣≤1|\sin(n!)|\le1, то∣n2sin⁡(n!)3∣≤n23=n23.\left|\sqrt[3]{n^2\sin(n!)}\right|
\le \sqrt[3]{n^2}=n^{\frac23}.Следовательно,∣n2sin⁡(n!)3n+1∣≤n23n+1.\left|\frac{\sqrt[3]{n^2\sin(n!)}}{n+1}\right|
\le \frac{n^{\frac23}}{n+1}.Для каждого n≥1n\ge1 имеем n+1>nn+1>n, поэтому0≤n23n+1<n23n=1n13.0\le\frac{n^{\frac23}}{n+1}<\frac{n^{\frac23}}n=\frac1{n^{\frac13}}.Правая граница стремится к нулю. По теореме о зажатой последовательности исходный предел равен нулю.

Кубический корень определён и для отрицательных значений sin⁡(n!)\sin(n!), а модуль кубического корня равен кубическому корню модуля. Поэтому оценка применима независимо от знака синуса.

Проверка

0.0.
Демидович № 48 — решение