Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 48

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 48

lim⁡n→∞n2sin⁡n!3n+1.\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n^2\sin n!}}{n+1}.

Решение

Кубический корень определён при любом знаке синуса, поэтому оценим модуль. Из ∣sin⁡(n!)∣≤1|\sin(n!)|\le1 следует
∣n2sin⁡(n!)3n+1∣≤n23n+1<n23n=1n3.\left|\frac{\sqrt[3]{n^2\sin(n!)}}{n+1}\right|
\le\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1}
<\frac{n^{\frac23}}n=\frac1{\sqrt[3]n}.Последнее выражение стремится к нулю. По теореме о зажатой последовательности исходная дробь также стремится к нулю.