Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 58

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 58

lim⁡n→∞n2n=0.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0.

Доказательство

Идея

Сравним не сами большие числа nn и 2n2^n, а соседние значения
последовательности an=n2na_n=\frac{n}{2^n}. Начиная со второго номера отношение
an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} не превосходит постоянного числа, меньшего единицы.
Это даст геометрическую верхнюю оценку и тем самым покажет, что
показательный рост знаменателя опережает линейный рост числителя.
  1. 1
    Рассмотримan=n2n.a_n=\frac{n}{2^n}.Для n≥2n\ge2 сравним соседние члены:an+1an=n+12n+1⋅2nn=n+12n≤34.\frac{a_{n+1}}{a_n}
    =\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}
    =\frac{n+1}{2n}
    \le \frac34.    Значит, начиная с n=2n=2, каждый следующий член не превосходит
    34\frac34 предыдущего
    Мы получили, что an+1≤34ana_{n+1} \le \frac{3}{4} a_n для любого n≥2n \ge 2, то есть для произвольного nn мы можем применять наше неравенство, пока не дойдем до a2a_2:an≤an−1⋅34≤an−2⋅(34)2≤⋯≤a2⋅(34)n−2a_n \le a_{n-1} \cdot \frac{3}{4} \le a_{n-2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \le \dots \le a_2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-2}Отсюда получаем:0≤an≤a2(34)n−2→0.0\le a_n\le a_2\left(\frac34\right)^{n-2}\to0.Следовательно,lim⁡n→∞n2n=0.\lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}=0.
  2. 2
    Здесь сравниваются линейный рост числителя и показательный рост знаменателя. Неравенство an+1≤34ana_{n+1}\le\frac34a_n при n≥2n\ge2 даёт явную геометрическую верхнюю оценку и тем самым полностью обосновывает предел.

Проверка

Доказано.

Что и требовалось доказать

Демидович № 58 — решение