Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 58

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 58

lim⁡n→∞n2n=0.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0.

Доказательство

Положим an=n2n>0a_n=\frac n{2^n}>0. При n≥2n\ge2an+1an=n+12n≤34.\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n}\le\frac34.Повторяя эту оценку, для n≥2n\ge2 получаем0<an≤a2(34)n−2=12(34)n−2.0<a_n\le a_2\left(\frac34\right)^{n-2}
=\frac12\left(\frac34\right)^{n-2}.Правая часть стремится к нулю (№42, г), поэтому an→0a_n\to0.

Что и требовалось доказать