Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 84

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 84

xn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+⋯+cos⁡n!n(n+1).x_n=\frac{\cos1!}{1\cdot2}+\frac{\cos2!}{2\cdot3}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}.

Доказательство

При m>nm>n сокращение общих слагаемых и оценка ∣cos⁡(k!)∣≤1|\cos(k!)|\le1 дают
∣xm−xn∣≤∑k=n+1m1k(k+1).|x_m-x_n|\le\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{k(k+1)}.Поскольку 1k(k+1)=1k−1k+1\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}, сумма справа телескопируется:∣xm−xn∣≤1n+1−1m+1<1n+1.|x_m-x_n|
\le\frac1{n+1}-\frac1{m+1}
<\frac1{n+1}.При n→∞n\to\infty последняя граница стремится к нулю независимо от m>nm>n. Это и есть условие Коши; значит, последовательность сходится.

Что и требовалось доказать