Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 84

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 84

xn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+⋯+cos⁡n!n(n+1).x_n=\frac{\cos1!}{1\cdot2}+\frac{\cos2!}{2\cdot3}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}.

Доказательство

Идея

Факториал внутри косинуса выглядит необычно, но для оценки хвоста его значение несущественно: при любом аргументе модуль косинуса не превосходит 11. После такой оценки остаются дроби 1k(k+1)\frac1{k(k+1)}. Каждая из них раскладывается в разность двух соседних обратных величин, поэтому конечная сумма телескопируется и позволяет проверить критерий Коши.
Оценка хвоста. Пусть m>nm>n. Тогдаxm−xn=∑k=n+1mcos⁡k!k(k+1).x_m-x_n=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{\cos k!}{k(k+1)}.Поэтому∣xm−xn∣≤∑k=n+1m1k(k+1).|x_m-x_n|
\le \sum_{k=n+1}^{m}\frac1{k(k+1)}.Телескопирование. Используем тождество1k(k+1)=1k−1k+1.\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}.Сумма телескопируется:∑k=n+1m1k(k+1)=\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{k(k+1)}\mathrel{=}∑k=n+1m(1k−1k+1)=\sum_{k=n+1}^{m}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\mathrel{=}1n+1−1m+1<1n+1.\frac1{n+1}-\frac1{m+1}
<\frac1{n+1}.Следовательно,∣xm−xn∣<1n+1.|x_m-x_n|<\frac1{n+1}.Для любого ε>0\varepsilon>0 выберем NN так, чтобы 1N+1<ε\frac1{N+1}<\varepsilon. Тогда при m>n≥Nm>n\ge N∣xm−xn∣<1n+1≤1N+1<ε.|x_m-x_n|<\frac1{n+1}\le\frac1{N+1}<\varepsilon.Критерий Коши выполнен, поэтому последовательность сходится.

Проверка

Последовательностьxn=cos⁡1!1⋅2+cos⁡2!2⋅3+⋯+cos⁡n!n(n+1)x_n=\frac{\cos1!}{1\cdot2}+\frac{\cos2!}{2\cdot3}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 84 — решение