Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 68

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 68

Доказать, чтоlim⁡n→∞(12⋅34⋯2n−12n)=0.\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)=0.Указание. См. пример 9 б).

Опирается на

Доказательство

Обозначим данное произведение черезPn=12⋅34⋯2n−12n.P_n=\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}.Все множители положительны. В №9(б) доказано0<Pn<12n+1.0<P_n<\frac1{\sqrt{2n+1}}.Правая часть стремится к нулю; по теореме о зажатой последовательности Pn→0P_n\to0.

Что и требовалось доказать