Демидович — задача 75

1. 1
   Пункт а)
   
   По задаче 69 имеем$$\left(1+\frac1n\right)^n<e<$$
   \left(1+\frac1n\right)^{n+1}.Логарифм является строго возрастающей функцией, поэтому$$n\ln\left(1+\frac1n\right)$$
   <
   1
   <
   (n+1)\ln\left(1+\frac1n\right).Из левого неравенства следует$$\ln\left(1+\frac1n\right)<\frac1n,$$а из правого$$\frac1{n+1}<\ln\left(1+\frac1n\right).$$Итак,$$\frac1{n+1}$$
   <
   \ln\left(1+\frac1n\right)
   <
   \frac1n.Пункт б)
2. 2
   Сначала докажем нестрогое неравенство$$e^x\geq1+x$$для любого $x>-1$.
   
   При $x=0$ оно очевидно. Пусть $x\neq0$ и положим$$t_n=\frac{n}{x}.$$Если $x>0$, то$$t_n\to+\infty,$$а если $-1<x<0$, то$$t_n\to-\infty.$$В обоих случаях по известному пределу$$\lim_{t\to\pm\infty}\left(1+\frac1t\right)^t=e$$получаем$$\left(1+\frac1{t_n}\right)^{t_n}$$
   =
   \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}
   \to e.При $x>-1$ имеем $1+\frac{x}{n}>0$. Для фиксированного вещественного $x$ функция$$y\mapsto y^x$$непрерывна при $y>0$. Поэтому из$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}\to e$$следует$$\left[$$
   \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}
   \right]^x
   \to e^x.По свойству степеней положительного числа$$\left[$$
   \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n/x}
   \right]^x
   =
   \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,так что$$\lim_{n\to\infty}$$
   \left(1+\frac{x}{n}\right)^n
   =
   e^x.По неравенству Бернулли$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$
   \geq
   1+n\frac{x}{n}
   =
   1+x.Переходя к пределу при $n\to\infty$, имеем$$e^x\geq1+x,$$
   \qquad x>-1.
3. 3
   Теперь докажем строгое неравенство$$e^\alpha>1+\alpha$$при $\alpha\neq0$.
4. 4
   Если $\alpha\leq-1$, то$$1+\alpha\leq0,$$а$$e^\alpha>0,$$поэтому$$e^\alpha>1+\alpha.$$Пусть теперь$$\alpha>-1,$$
   \qquad
   \alpha\neq0.Тогда$$\frac{\alpha}{2}>-1,$$и к числу $x=\frac{\alpha}{2}$ можно применить доказанное выше неравенство:$$e^{\alpha/2}\geq1+\frac{\alpha}{2}.$$При $\alpha>-1$$$1+\frac{\alpha}{2}>0,$$поэтому обе части можно возвести в квадрат:$$e^\alpha$$
   =
   \left(e^{\alpha/2}\right)^2
   \geq
   \left(1+\frac{\alpha}{2}\right)^2
   =
   1+\alpha+\frac{\alpha^2}{4}.Так как $\alpha\neq0$, то$$\frac{\alpha^2}{4}>0,$$откуда$$e^\alpha$$
   \geq
   1+\alpha+\frac{\alpha^2}{4}
   >
   1+\alpha.

Что и требовалось доказать