Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 83

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 83

xn=sin⁡12+sin⁡222+⋯+sin⁡n2n.x_n=\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{2^n}.

Доказательство

Идея

При вычитании xm−xnx_m-x_n снова остаются лишь слагаемые с номерами от n+1n+1 до mm. Их знаки могут меняться, но выяснять эти знаки не требуется: после перехода к модулям каждый синус можно оценить единицей. Останется геометрическая сумма, которая и даст нужную для критерия Коши оценку хвоста.
Оценка хвоста. Пусть m>nm>n. Тогдаxm−xn=∑k=n+1msin⁡k2k.x_m-x_n=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{\sin k}{2^k}.Следовательно,∣xm−xn∣≤∑k=n+1m∣sin⁡k∣2k≤∑k=n+1m12k.\begin{aligned}
|x_m-x_n|
&\le\sum_{k=n+1}^{m}\frac{|\sin k|}{2^k}\\
&\le\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{2^k}.
\end{aligned}По формуле конечной геометрической прогрессии∑k=n+1m12k=12n+11−2−(m−n)1−12<12n.\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{2^k}
=\frac1{2^{n+1}}\frac{1-2^{-(m-n)}}{1-\frac12}
<\frac1{2^n}.Выбор номера. Зафиксируем ε>0\varepsilon>0 и выберем NN так, чтобы 2−N<ε2^{-N}<\varepsilon. Тогда при m>n≥Nm>n\ge N∣xm−xn∣<12n≤12N<ε.|x_m-x_n|<\frac1{2^n}\le\frac1{2^N}<\varepsilon.Критерий Коши выполнен, поэтому последовательность сходится.

Мы нигде не предполагаем, что величины sin⁡k\sin k имеют одинаковый знак: переход к модулям заменяет исходный хвост большей геометрической суммой. Выбор NN зависит только от ε\varepsilon, но не от mm, как и требует критерий Коши.

Проверка

Последовательностьxn=sin⁡12+sin⁡222+⋯+sin⁡n2nx_n=\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{2^n}сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 83 — решение