Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 83

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующей последовательности:

Задача 83

xn=sin⁡12+sin⁡222+⋯+sin⁡n2n.x_n=\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^2}+\cdots+\frac{\sin n}{2^n}.

Доказательство

Для проверки критерия Коши вычтем две частичные суммы при m>nm>n. Их общие слагаемые сократятся; используя ∣sin⁡k∣≤1|\sin k|\le1, оценим оставшийся хвост:
∣xm−xn∣=∣∑k=n+1msin⁡k2k∣≤∑k=n+1m12k<12n.\begin{aligned}
|x_m-x_n|
&=\left|\sum_{k=n+1}^{m}\frac{\sin k}{2^k}\right|\\
&\le\sum_{k=n+1}^{m}\frac1{2^k}
<\frac1{2^n}.
\end{aligned}Последний знак следует из формулы конечной геометрической суммы. Для заданного ε>0\varepsilon>0 выберем NN так, чтобы 2−N<ε2^{-N}<\varepsilon. Тогда при любых m>n≥Nm>n\ge N разность ∣xm−xn∣|x_m-x_n| меньше ε\varepsilon. Критерий Коши даёт сходимость.

Что и требовалось доказать