Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 66

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 66

lim⁡n→∞1n!n=0.\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{n!}}=0.

Доказательство

Идея

Оценивать весь факториал точно не нужно. В его второй половине каждый
множитель не меньше n2\frac n2, и таких множителей не меньше
n2\frac n2. Поэтому уже эта часть произведения даёт нижнюю оценку для
n!n\sqrt[n]{n!}, которая растёт вместе с nn.
lim⁡n→∞1n!n=0.\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{n!}}=0.

Проверка

Пусть n≥2n\ge2. Среди чисел 1,2,…,n1,2,\ldots,n все числа от
⌈n2⌉\left\lceil\frac n2\right\rceil до nn не меньше n2\frac n2. Таких
множителей не меньше n2\frac n2. Остальные множители факториала не меньше
11, а n2≥1\frac n2\ge1, поэтомуn!≥(n2)n2.n!\ge\left(\frac n2\right)^{\frac n2}.Извлекая корень степени nn, получаемn!n≥n2.\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt{\frac n2}.Следовательно,0<1n!n≤2n⟶0.0<\frac1{\sqrt[n]{n!}}
\le\sqrt{\frac2n}\longrightarrow0.

Что и требовалось доказать