Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 66

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать следующее равенство:

Задача 66

lim⁡n→∞1n!n=0.\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{n!}}=0.

Доказательство

При n≥2n\ge2 не менее половины сомножителей в n!=1⋅2⋯nn!=1\cdot2\cdots n не меньше n2\frac n2. Остальные сомножители не меньше 11, а потому
n!≥(n2)n2.n!\ge\left(\frac n2\right)^{\frac n2}.После извлечения корня степени nn получаем n!n≥n2\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt{\frac n2}. Следовательно,0<1n!n≤2n⟶0.0<\frac1{\sqrt[n]{n!}}\le\sqrt{\frac2n}\longrightarrow0.Искомый предел равен нулю.

Что и требовалось доказать