Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 47

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 47

lim⁡n→∞(n+1−n).\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt n\bigr).

Решение

Идея

Очень часто встречается неопределённость в выражениях с радикалами. Полезный приём, который надо запомнить, - домножение на сопряжённое. Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель xn=n+1−nx_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} на n+1+n\sqrt{n+1}+\sqrt{n}. Получаем:n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=1n+1+n.\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.Отсюда 0<1n+1+n<12n0 < \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}. Ввиду того, что последнее выражение стремится к нулю, наша последовательность xnx_n (по теореме о зажатой последовательности) также стремится к нулю, следовательно, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n\to\infty} x_n = 0.
Демидович № 47 — решение