Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 47

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Предполагая, что nn пробегает натуральный ряд чисел, определить значение следующего выражения:

Задача 47

lim⁡n→∞(n+1−n).\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt n\bigr).

Решение

Умножим разность на сопряжённую сумму:n+1−n=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=1n+1+n.\sqrt{n+1}-\sqrt n
=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}
{\sqrt{n+1}+\sqrt n}
=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}.Знаменатель положителен и растёт; точнее,0<n+1−n<12n⟶0.0<\sqrt{n+1}-\sqrt n
<\frac{1}{2\sqrt n}\longrightarrow0.По теореме о зажатой последовательности искомый предел равен 00.