Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1014

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Можно ли утверждать, что сумма

F(x)=f(x)+g(x)

не имеет производной в точке

x=x_0

, если:

а) функция

f(x)

имеет производную в точке

x_0

, а функция

g(x)

не имеет производной в этой точке;

б) обе функции

f(x)

g(x)

не имеют производной в точке

x_0

Ответ:Если

f

дифференцируема в точке

x_0

, а

g

не
дифференцируема в ней, то сумма

F=f+g

не дифференцируема в точке

x_0

.

Если обе функции не дифференцируемы в точке

x_0

, их
сумма может как иметь, так и не иметь производную в этой точке.

Решение

1
Пункт а)
Да, в этом случае сумма не может иметь производную.
Предположим противное: пусть функция $F=f+g$ дифференцируема в точке
$x_0$ . Тогда $g=F-f$ является разностью двух функций, дифференцируемых в точке $x_0$ , и
потому сама дифференцируема в этой точке. Это противоречит условию.
2
Пункт б)
Нет, однозначного вывода сделать нельзя. Например, при $f(x)=|x| \qquad g(x)=-|x| \qquad x_0=0$ обе функции не имеют производной в нуле, но $F(x)=f(x)+g(x)\equiv0$ и потому $F'(0)=0$ .

Проверка

С другой стороны, если

f(x)=g(x)=|x|

то

F(x)=2|x|

не имеет производной при

x=0