Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1014

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1014

Можно ли утверждать, что суммаF(x)=f(x)+g(x)F(x)=f(x)+g(x)не имеет производной в точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x0x_0, а функция g(x)g(x)
не имеет производной в этой точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) не имеют производной в точке x0x_0?
Ответ:а) Если ff дифференцируема в точке x0x_0, а gg не
дифференцируема в ней, то сумма F=f+gF=f+g не дифференцируема в точке
x0x_0.

б) Если обе функции не дифференцируемы в точке x0x_0, их
сумма может как иметь, так и не иметь производную в этой точке.

Решение

Пункт а)

Да, в этом случае сумма не может иметь производную.
Предположим противное: пусть функция F=f+gF=f+g дифференцируема в точке
x0x_0. Тогдаg=F−fg=F-fявляется разностью двух функций, дифференцируемых в точке x0x_0, и
потому сама дифференцируема в этой точке. Это противоречит условию.

Пункт б)

Нет, однозначного вывода сделать нельзя. Например, приf(x)=∣x∣g(x)=−∣x∣x0=0f(x)=|x|
\qquad
g(x)=-|x|
\qquad
x_0=0обе функции не имеют производной в нуле, ноF(x)=f(x)+g(x)≡0F(x)=f(x)+g(x)\equiv0и потому F′(0)=0F'(0)=0.

Проверка

С другой стороны, еслиf(x)=g(x)=∣x∣f(x)=g(x)=|x|тоF(x)=2∣x∣F(x)=2|x|не имеет производной при x=0x=0.
Демидович № 1014 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика