Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 973

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 973

y=(arccos⁡x)2[ln⁡2(arccos⁡x)−ln⁡(arccos⁡x)+12]y=(\arccos x)^2
\left[\ln^2(\arccos x)-\ln(\arccos x)+\frac12\right]
Ответ:y′=−2arccos⁡x ln⁡2(arccos⁡x)1−x2,−1<x<1y'=-\frac{2\arccos x\,\ln^2(\arccos x)}
{\sqrt{1-x^2}},
\qquad -1<x<1

Решение

Идея

Область определения исходной функции равна [−1,1)[-1,1). Для вычисления
производной рассматриваем внутренние точки −1<x<1-1<x<1 и полагаемu=arccos⁡xu=\arccos xТогдаy=u2(ln⁡2u−ln⁡u+12)y=u^2\left(\ln^2u-\ln u+\frac12\right)Производная по uu существенно упрощается:dydu=2u(ln⁡2u−ln⁡u+12)+u(2ln⁡u−1)==2uln⁡2u\begin{aligned}
\frac{dy}{du}
&=2u\left(\ln^2u-\ln u+\frac12\right)
+u(2\ln u-1)=\\
&=2u\ln^2u
\end{aligned}Так какu′=−11−x2u'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}получаем окончательную формулу.
В точке x=−1x=-1, которая является концом области определения, обычную
двустороннюю производную не рассматриваем. При x=1x=1 исходная функция
не определена.