Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 973

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции, вводя подходящую промежуточную переменную, как в №972:

y=(\arccos x)^2\left[\ln^2(\arccos x)-\ln(\arccos x)+\frac12\right]

Ответ:

y'=-\frac{2\arccos x\,\ln^2(\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1

Решение

Область определения исходной функции равна

[-1,1)

. Для вычисления
производной рассматриваем внутренние точки

-1<x<1

и полагаем

u=\arccos x

Тогда

y=u^2\left(\ln^2u-\ln u+\frac12\right)

Производная по

u

существенно упрощается:

\begin{aligned}\frac{dy}{du}&=2u\left(\ln^2u-\ln u+\frac12\right)+u(2\ln u-1)=\\&=2u\ln^2u\end{aligned}

Так как

u'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}

получаем окончательную формулу.

В точке

x=-1

, которая является концом области определения, обычную
двустороннюю производную не рассматриваем. При

x=1

исходная функция
не определена.