Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1004

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1004

f(x)=x1+e1x(x≠0),f(0)=0f(x)=\frac{x}{1+e^{\frac1x}}\quad(x\ne0),
\qquad f(0)=0
Ответ:При x≠0x\ne0f−′(x)=f+′(x)=1+e1x+1xe1x(1+e1x)2f'_-(x)=f'_+(x)=
\frac{1+e^{\frac1x}+\dfrac1x e^{\frac1x}}
{\left(1+e^{\frac1x}\right)^2}а при x=0x=0f−′(0)=1f+′(0)=0f'_-(0)=1
\qquad
f'_+(0)=0

Решение

Идея

При x≠0x\ne0 функция дифференцируема. По правилу производной частногоf′(x)=1+e1x+1xe1x(1+e1x)2\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{1+e^{\frac1x}
+\dfrac1x e^{\frac1x}}
{\left(1+e^{\frac1x}\right)^2}
\end{aligned}Следовательно, в таких точках левая и правая производные совпадают с
этим выражением.
В точке x=0x=0f(h)−f(0)h=11+e1h\frac{f(h)-f(0)}h=\frac1{1+e^{\frac1h}}Если h→0−h\to0^-, то e1/h→0e^{1/h}\to0, а если h→0+h\to0^+, то
e1/h→+∞e^{1/h}\to+\infty. Поэтомуf−′(0)=1f+′(0)=0f'_-(0)=1
\qquad
f'_+(0)=0
Демидович № 1004 — решение и ответ