Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1001

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1001

f(x)=[x]sin⁡πxf(x)=[x]\sin\pi x
Ответ:Если x∉Zx\notin\mathbb Z, тоf−′(x)=f+′(x)=π[x]cos⁡πxf'_-(x)=f'_+(x)=\pi[x]\cos\pi xЕсли n∈Zn\in\mathbb Z, тоf−′(n)=(n−1)(−1)nπf+′(n)=n(−1)nπf'_-(n)=(n-1)(-1)^n\pi
\qquad
f'_+(n)=n(-1)^n\pi

Решение

Идея

Пусть x∉Zx\notin\mathbb Z. Тогда в некоторой окрестности точки xx
целая часть [x][x] постоянна, поэтомуf−′(x)=f+′(x)=π[x]cos⁡πxf'_-(x)=f'_+(x)=\pi[x]\cos\pi x

Проверка

Теперь рассмотрим целую точку x=nx=n, n∈Zn\in\mathbb Z. При
h<0h<0 достаточно малой величины [n+h]=n−1[n+h]=n-1, а при h>0h>0
имеем [n+h]=n[n+h]=n. Кроме того,sin⁡π(n+h)=(−1)nsin⁡πh\sin\pi(n+h)=(-1)^n\sin\pi hи f(n)=0f(n)=0. Следовательно,f−′(n)=lim⁡h→0−(n−1)(−1)nsin⁡πhh=(n−1)(−1)nπf+′(n)=lim⁡h→0+n(−1)nsin⁡πhh=n(−1)nπ\begin{aligned}
f'_-(n)&=\lim_{h\to0^-}
(n-1)(-1)^n\frac{\sin\pi h}{h}
=(n-1)(-1)^n\pi\\
f'_+(n)&=\lim_{h\to0^+}
n(-1)^n\frac{\sin\pi h}{h}
=n(-1)^n\pi
\end{aligned}Эти значения различны для любого целого nn.
Демидович № 1001 — решение и ответ