Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 994

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 994

Найти f′(a)f'(a), еслиf(x)=(x−a)φ(x)f(x)=(x-a)\varphi(x)где функция φ(x)\varphi(x) непрерывна при x=ax=a.
Ответ:f′(a)=φ(a)f'(a)=\varphi(a)

Решение

Имеем f(a)=0f(a)=0. По определению производнойf′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a==lim⁡x→a(x−a)φ(x)x−a=lim⁡x→aφ(x)=φ(a)\begin{aligned}
f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\\
&=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}
=\lim_{x\to a}\varphi(x)=\varphi(a)
\end{aligned}Последнее равенство следует из непрерывности функции φ\varphi в
точке aa.