Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 998

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 998

Показать, что функцияf(x)={x2,если x рационально,0,если x иррациональноf(x)=
\begin{cases}
x^2,&\text{если }x\text{ рационально},\\
0,&\text{если }x\text{ иррационально}
\end{cases}имеет производную лишь при x=0x=0.
Доказано:Функция дифференцируема только при x=0x=0, причёмf′(0)=0f'(0)=0

Доказательство

Идея

Сначала исследуем точку x=0x=0. Независимо от того, рационально или
иррационально число hh, выполняется оценка∣f(h)∣⩽h2|f(h)|\leqslant h^2Поскольку f(0)=0f(0)=0, для разностного отношения получаем∣f(0+h)−f(0)h∣=∣f(h)h∣⩽∣h∣\left|\frac{f(0+h)-f(0)}h\right|
=\left|\frac{f(h)}h\right|
\leqslant |h|При h→0h\to0 правая часть стремится к нулю. Поэтому по теореме о
зажатой функцииf′(0)=0f'(0)=0

Проверка

Пусть теперь x0≠0x_0\ne0. Выберем последовательность рациональных чисел
rn→x0r_n\to x_0 и последовательность иррациональных чисел
sn→x0s_n\to x_0. Тогдаf(rn)=rn2⟶x02f(r_n)=r_n^2\longrightarrow x_0^2и одновременноf(sn)=0⟶0f(s_n)=0\longrightarrow0Так как x02≠0x_0^2\ne0, предел функции при x→x0x\to x_0 не существует.
Следовательно, функция разрывна в каждой точке x0≠0x_0\ne0. Из
дифференцируемости следует непрерывность, поэтому в таких точках
производной быть не может.

Что и требовалось доказать

Демидович № 998 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика