Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1013

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Часть кривой

y=\frac{m^2}{|x|}\qquad(|x|>c,\ c>0)

дополнить параболой

y=a+bx^2\qquad(|x|\leqslant c)

(где

a

b

— неизвестные параметры) так, чтобы получилась
гладкая кривая.

Ответ:При

c>0

следует выбрать

a=\frac{3m^2}{2c} \qquad b=-\frac{m^2}{2c^3}

Решение

Идея

Поскольку

c>0

, обе части кривой являются чётными, поэтому достаточно
согласовать их значения и производные в точке

x=c

; в точке

x=-c

те же условия выполнятся автоматически.

Для непрерывности необходимо

a+bc^2=\frac{m^2}{c}

При

x>c

\left(\frac{m^2}{x}\right)'=-\frac{m^2}{x^2}

а внутри отрезка

[-c,c]

(a+bx^2)'=2bx

Условие совпадения производных при

x=c

имеет вид

2bc=-\frac{m^2}{c^2}

Отсюда

b=-\frac{m^2}{2c^3}

и из условия непрерывности

\begin{aligned} a&=\frac{m^2}{c}-bc^2=\\ &=\frac{m^2}{c}+\frac{m^2}{2c} =\frac{3m^2}{2c}\end{aligned}

Проверка

Проверим второй стык. При

x<-c

имеем

\frac{m^2}{|x|}=-\frac{m^2}{x}

поэтому внешняя производная в точке

x=-c

равна

\frac{m^2}{c^2}

Производная параболы в этой точке также равна

2b(-c)=\frac{m^2}{c^2}

Следовательно, значения и первые производные совпадают в обеих точках
стыка.