Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 982

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную и построить графики функции и её производной:

Задача 982

y={arctg⁡x,∣x∣⩽1π4sgn⁡x+x−12,∣x∣>1y=
\begin{cases}
\operatorname{arctg}x, & |x|\leqslant1\\
\dfrac\pi4\operatorname{sgn} x+\dfrac{x-1}{2}, & |x|>1
\end{cases}
ПостроениеПроизводная не существует при x=−1x=-1, а во всех остальных
точкахy′={12,x<−111+x2,−1<x<112,x⩾1y'=
\begin{cases}
\dfrac12, & x<-1\\[2mm]
\dfrac1{1+x^2}, & -1<x<1\\[2mm]
\dfrac12, & x\geqslant1
\end{cases}

Построение

Идея

На каждом из промежутков (−∞,−1)(-\infty,-1), (−1,1)(-1,1) и
(1,+∞)(1,+\infty) функция дифференцируема. При ∣x∣>1|x|>1 знак xx
постоянен, поэтому производная слагаемого π4sgn⁡x\frac\pi4\operatorname{sgn} x равна
нулю. Следовательно,y′=12при ∣x∣>1y'=\frac12
\quad\text{при }|x|>1а внутри центрального промежуткаy′=11+x2при ∣x∣<1y'=\frac1{1+x^2}
\quad\text{при }|x|<1
  1. 1
    Проверим обе точки склейки отдельно. В точке x=1x=1y(1)=π4,lim⁡x→1+(π4+x−12)=π4y(1)=\frac\pi4,
    \qquad
    \lim_{x\to1^+}\left(\frac\pi4+\frac{x-1}{2}\right)=\frac\pi4    Левая производная функции arctg⁡x\operatorname{arctg}x равна
    11+12=12\frac1{1+1^2}=\frac12, правая производная линейной части также
    равна 12\frac12. Значит, y′(1)=12y'(1)=\frac12.

    В точке x=−1x=-1 ситуация иная. По центральной формулеy(−1)=−π4y(-1)=-\frac\pi4но слева, где sgn⁡x=−1\operatorname{sgn} x=-1,lim⁡x→−1−y(x)=−π4+−1−12=−π4−1\lim_{x\to-1^-}y(x)
    =-\frac\pi4+\frac{-1-1}{2}
    =-\frac\pi4-1    Функция имеет скачок и потому не дифференцируема при x=−1x=-1. Итак,y′={12,x<−111+x2,−1<x<112,x⩾1y'=
    \begin{cases}
    \dfrac12, & x<-1\\[2mm]
    \dfrac1{1+x^2}, & -1<x<1\\[2mm]
    \dfrac12, & x\geqslant1
    \end{cases}    а при x=−1x=-1 производная не существует.
    Хотя слева и справа y′y' стремится к 12\frac12, самой производной
    y′(−1)y'(-1) нет, поскольку исходная функция разрывна при x=−1x=-1.
  2. 2

    Построение графика

    На графике функции левый линейный луч стремится к
    выколотой точке (−1,−π4−1)\left(-1,-\frac\pi4-1\right), тогда как значение
    функции задаётся закрашенной точкой (−1,−π4)\left(-1,-\frac\pi4\right).
    Центральная дуга y=arctg⁡xy=\operatorname{arctg}x при x=1x=1 гладко
    переходит в правый линейный луч. График производной имеет выколотую
    точку (−1,12)\left(-1,\frac12\right); при x=1x=1 разрыва нет.график к задаче Демидовича № 982график к задаче Демидовича № 982
  3. 3

    Ответ

    Производная не существует при x=−1x=-1, а во всех остальных
    точках

Проверка

y′={12,x<−111+x2,−1<x<112,x⩾1y'=
\begin{cases}
\dfrac12, & x<-1\\[2mm]
\dfrac1{1+x^2}, & -1<x<1\\[2mm]
\dfrac12, & x\geqslant1
\end{cases}
Демидович № 982 — решение и ответ