Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1016

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1016

Что можно сказать о дифференцируемости функции

F(x)=f(g(x))

в данной точке

x=x_0

, если:

а) функция

f(x)

имеет производную в точке

x=g(x_0)

, а функция

g(x)

не имеет производной в точке

x=x_0

;

б) функция

f(x)

не имеет производной в точке

x=g(x_0)

, а функция

g(x)

имеет производную в точке

x=x_0

;

в) функция

f(x)

не имеет производной в точке

x=g(x_0)

и функция

g(x)

не имеет производной в точке

x=x_0

?

Рассмотреть примеры:

\text{а) }f(x)=x^2,\ g(x)=|x|;\qquad\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=x^2

\text{в) }f(x)=2x+|x|,\qquadg(x)=\frac23x-\frac13|x|,\qquad x_0=0

Ответ:Если

f

дифференцируема в точке

g(x_0)

, а

g

не дифференцируема в точке

x_0

, композиция может как иметь, так и
не иметь производную в точке

x_0

.

Если

f

не дифференцируема в точке

g(x_0)

, а

g

дифференцируема в точке

x_0

, композиция может как иметь, так и не
иметь производную.

Если обе функции не дифференцируемы в соответствующих
точках, композиция может как иметь, так и не иметь производную.

Решение

1
Пункт а)
Одной дифференцируемости внешней функции недостаточно.
В предложенном примере $f(u)=u^2 \qquad g(x)=|x| \qquad x_0=0$ функция $g$ не дифференцируема в нуле, но $F(x)=f(g(x))=|x|^2=x^2$ и $F'(0)=0$ .

С другой стороны, если взять $f(u)=u \qquad g(x)=|x|$ то внешняя функция дифференцируема, но композиция
$F(x)=|x|$ производной в нуле не имеет.
2
Пункт б)
Недифференцируемость внешней функции также не определяет
поведение композиции. В предложенном примере $f(u)=|u| \qquad g(x)=x^2 \qquad x_0=0$ внешняя функция не дифференцируема при $u=g(0)=0$ , но $F(x)=|x^2|=x^2$ и $F'(0)=0$ .
3
Если же $f(u)=|u| \qquad g(x)=x$ то $g$ дифференцируема, а композиция $F(x)=|x|$ не имеет
производной в нуле.
4
Пункт в)
В предложенном примере при $x\geqslant0$ $g(x)=\frac x3\geqslant0$ поэтому $f(g(x))=3g(x)=x$ При $x<0$ $g(x)=x<0$ и потому $f(g(x))=g(x)=x$ Таким образом, несмотря на недифференцируемость обеих функций в
соответствующих точках, $F(x)=x$ и $F'(0)=1$ .

Проверка

Противоположный результат получается при

f(u)=|u| \qquad g(x)=|x|

Обе функции не дифференцируемы в нуле, а композиция

F(x)=||x||=|x|

также не имеет производной.