Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1016

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1016

Что можно сказать о дифференцируемости функцииF(x)=f(g(x))F(x)=f(g(x))в данной точке x=x0x=x_0, если:

а) функция f(x)f(x) имеет производную в точке x=g(x0)x=g(x_0), а функция
g(x)g(x) не имеет производной в точке x=x0x=x_0;

б) функция f(x)f(x) не имеет производной в точке x=g(x0)x=g(x_0), а функция
g(x)g(x) имеет производную в точке x=x0x=x_0;

в) функция f(x)f(x) не имеет производной в точке x=g(x0)x=g(x_0) и функция
g(x)g(x) не имеет производной в точке x=x0x=x_0?

Рассмотреть примеры:а) f(x)=x2, g(x)=∣x∣;б) f(x)=∣x∣, g(x)=x2\text{а) }f(x)=x^2,\ g(x)=|x|;
\qquad
\text{б) }f(x)=|x|,\ g(x)=x^2в) f(x)=2x+∣x∣,g(x)=23x−13∣x∣,x0=0\text{в) }f(x)=2x+|x|,
\qquad
g(x)=\frac23x-\frac13|x|,
\qquad x_0=0
Ответ:а) Если ff дифференцируема в точке g(x0)g(x_0), а gg
не дифференцируема в точке x0x_0, композиция может как иметь, так и
не иметь производную в точке x0x_0.

б) Если ff не дифференцируема в точке g(x0)g(x_0), а gg
дифференцируема в точке x0x_0, композиция может как иметь, так и не
иметь производную.

в) Если обе функции не дифференцируемы в соответствующих
точках, композиция может как иметь, так и не иметь производную.

Решение

Пункт а)

Одной дифференцируемости внешней функции недостаточно.
В предложенном примереf(u)=u2g(x)=∣x∣x0=0f(u)=u^2
\qquad
g(x)=|x|
\qquad
x_0=0функция gg не дифференцируема в нуле, ноF(x)=f(g(x))=∣x∣2=x2F(x)=f(g(x))=|x|^2=x^2и F′(0)=0F'(0)=0.

С другой стороны, если взятьf(u)=ug(x)=∣x∣f(u)=u
\qquad
g(x)=|x|то внешняя функция дифференцируема, но композиция
F(x)=∣x∣F(x)=|x| производной в нуле не имеет.

Пункт б)

Недифференцируемость внешней функции также не определяет
поведение композиции. В предложенном примереf(u)=∣u∣g(x)=x2x0=0f(u)=|u|
\qquad
g(x)=x^2
\qquad
x_0=0внешняя функция не дифференцируема при u=g(0)=0u=g(0)=0, ноF(x)=∣x2∣=x2F(x)=|x^2|=x^2и F′(0)=0F'(0)=0.
Если жеf(u)=∣u∣g(x)=xf(u)=|u|
\qquad
g(x)=xто gg дифференцируема, а композиция F(x)=∣x∣F(x)=|x| не имеет
производной в нуле.

Пункт в)

В предложенном примере при x⩾0x\geqslant0g(x)=x3⩾0g(x)=\frac x3\geqslant0поэтомуf(g(x))=3g(x)=xf(g(x))=3g(x)=xПри x<0x<0g(x)=x<0g(x)=x<0и потомуf(g(x))=g(x)=xf(g(x))=g(x)=xТаким образом, несмотря на недифференцируемость обеих функций в
соответствующих точках,F(x)=xF(x)=xи F′(0)=1F'(0)=1.

Проверка

Противоположный результат получается приf(u)=∣u∣g(x)=∣x∣f(u)=|u|
\qquad
g(x)=|x|Обе функции не дифференцируемы в нуле, а композицияF(x)=∣∣x∣∣=∣x∣F(x)=||x||=|x|также не имеет производной.
Демидович № 1016 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика