Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1017

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1017

В каких точках график функцииy=x+sin⁡x3y=x+\sqrt[3]{\sin x}имеет вертикальные касательные? Построить этот график.
Ответ:Вертикальные касательные имеются во всех точках(kπ,kπ)k∈Z(k\pi,k\pi)
\qquad k\in\mathbb Zи задаются уравнениями x=kπx=k\pi. Конечной производной в точках x=kπx=k\pi
нет. Разностное отношение стремится
к +∞+\infty при чётном kk и к −∞-\infty при нечётном kk.

Решение

Идея

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Она нечётная,
так как обе функции xx и sin⁡x3\sqrt[3]{\sin x} нечётны.
  1. 1
    Если sin⁡x≠0\sin x\ne0, то функция дифференцируема иy′(x)=1+cos⁡x3(sin⁡x)23=1+cos⁡x3∣sin⁡x∣2/3y'(x)=
    1+\frac{\cos x}{3\sqrt[3]{(\sin x)^2}}
    =1+\frac{\cos x}{3|\sin x|^{2/3}}    Поэтому вертикальные касательные возможны только в точкахsin⁡x=0x=kπk∈Z\sin x=0
    \qquad x=k\pi
    \qquad k\in\mathbb Z    В каждой такой точке значение функции равноy(kπ)=kπy(k\pi)=k\pi
  2. 2
    Проверим характер касательной по определению. Для h≠0h\ne0 имеемy(kπ+h)−y(kπ)h=1+sin⁡(kπ+h)3h=1+(−1)ksin⁡h3h\frac{y(k\pi+h)-y(k\pi)}h
    =1+\frac{\sqrt[3]{\sin(k\pi+h)}}h
    =1+(-1)^k\frac{\sqrt[3]{\sin h}}h    Посколькуsin⁡h3h=sin⁡hh3∣h∣2/3⟶+∞(h→0)\frac{\sqrt[3]{\sin h}}h
    =\frac{\sqrt[3]{\dfrac{\sin h}{h}}}{|h|^{2/3}}
    \longrightarrow+\infty
    \qquad(h\to0)    получаемlim⁡h→0y(kπ+h)−y(kπ)h={+∞k чётно−∞k нечётно\lim_{h\to0}
    \frac{y(k\pi+h)-y(k\pi)}h
    =
    \begin{cases}
    +\infty & k\text{ чётно}\\
    -\infty & k\text{ нечётно}
    \end{cases}    Обе односторонние секущие в каждом случае стремятся к одной и той же
    вертикальной прямой. Следовательно, в точке (kπ,kπ)(k\pi,k\pi) график имеет
    вертикальную касательнуюx=kπx=k\piКроме того,∣y−x∣=∣sin⁡x3∣⩽1\left|y-x\right|=\left|\sqrt[3]{\sin x}\right|\leqslant1поэтому весь график лежит в полосе между прямыми y=x−1y=x-1 и y=x+1y=x+1.
    Равенство y=xy=x выполняется в точках x=kπx=k\pi.
  3. 3

    Построение графика

    На рисунке показан участок графика, содержащий три
    последовательные вертикальные касательные: при x=−πx=-\pi, x=0x=0 и
    x=πx=\pi. Короткие пунктирные отрезки при x=±πx=\pm\pi показывают их
    направление; касательная при x=0x=0 совпадает с осью OyOy. Тонкие наклонные
    пунктирные прямые ограничивают полосу x−1⩽y⩽x+1x-1\leqslant y\leqslant x+1.график к задаче Демидовича № 1017

Проверка

Ответ. Вертикальные касательные имеются во всех точках(kπ,kπ)k∈Z(k\pi,k\pi)
\qquad k\in\mathbb Zи задаются уравнениями x=kπx=k\pi. Конечной производной в точках x=kπx=k\pi
нет. Разностное отношение стремится
к +∞+\infty при чётном kk и к −∞-\infty при нечётном kk.
Демидович № 1017 — решение и ответ