Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 1017

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1017

В каких точках график функцииy=x+sin⁡x3y=x+\sqrt[3]{\sin x}имеет вертикальные касательные? Построить этот график.
Ответ:Вертикальные касательные имеются во всех точках(kπ,kπ)k∈Z(k\pi,k\pi)
\qquad k\in\mathbb Zи задаются уравнениями x=kπx=k\pi. Конечной производной в точках x=kπx=k\pi
нет. Разностное отношение стремится
к +∞+\infty при чётном kk и к −∞-\infty при нечётном kk.

Решение

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Она нечётная,
так как обе функции xx и sin⁡x3\sqrt[3]{\sin x} нечётны.
Если sin⁡x≠0\sin x\ne0, то функция дифференцируема иy′(x)=1+cos⁡x3(sin⁡x)23=1+cos⁡x3∣sin⁡x∣2/3y'(x)=
1+\frac{\cos x}{3\sqrt[3]{(\sin x)^2}}
=1+\frac{\cos x}{3|\sin x|^{2/3}}Поэтому вертикальные касательные возможны только в точкахsin⁡x=0x=kπk∈Z\sin x=0
\qquad x=k\pi
\qquad k\in\mathbb ZВ каждой такой точке значение функции равноy(kπ)=kπy(k\pi)=k\pi
Проверим характер касательной по определению. Для h≠0h\ne0 имеемy(kπ+h)−y(kπ)h=1+sin⁡(kπ+h)3h=1+(−1)ksin⁡h3h\frac{y(k\pi+h)-y(k\pi)}h
=1+\frac{\sqrt[3]{\sin(k\pi+h)}}h
=1+(-1)^k\frac{\sqrt[3]{\sin h}}hПосколькуsin⁡h3h=sin⁡hh3∣h∣2/3⟶+∞(h→0)\frac{\sqrt[3]{\sin h}}h
=\frac{\sqrt[3]{\dfrac{\sin h}{h}}}{|h|^{2/3}}
\longrightarrow+\infty
\qquad(h\to0)получаемlim⁡h→0y(kπ+h)−y(kπ)h={+∞k чётно−∞k нечётно\lim_{h\to0}
\frac{y(k\pi+h)-y(k\pi)}h
=
\begin{cases}
+\infty & k\text{ чётно}\\
-\infty & k\text{ нечётно}
\end{cases}Обе односторонние секущие в каждом случае стремятся к одной и той же
вертикальной прямой. Следовательно, в точке (kπ,kπ)(k\pi,k\pi) график имеет
вертикальную касательнуюx=kπx=k\piКроме того,∣y−x∣=∣sin⁡x3∣⩽1\left|y-x\right|=\left|\sqrt[3]{\sin x}\right|\leqslant1поэтому весь график лежит в полосе между прямыми y=x−1y=x-1 и y=x+1y=x+1.
Равенство y=xy=x выполняется в точках x=kπx=k\pi.

Построение графика

На рисунке показан участок графика, содержащий три
последовательные вертикальные касательные: при x=−πx=-\pi, x=0x=0 и
x=πx=\pi. Короткие пунктирные отрезки при x=±πx=\pm\pi показывают их
направление; касательная при x=0x=0 совпадает с осью OyOy. Тонкие наклонные
пунктирные прямые ограничивают полосу x−1⩽y⩽x+1x-1\leqslant y\leqslant x+1.график к задаче Демидовича № 1017

Ответ

Вертикальные касательные имеются во всех точках(kπ,kπ)k∈Z(k\pi,k\pi)
\qquad k\in\mathbb Zи задаются уравнениями x=kπx=k\pi. Конечной производной в точках x=kπx=k\pi
нет. Разностное отношение стремится
к +∞+\infty при чётном kk и к −∞-\infty при нечётном kk.
Демидович № 1017 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика